Nowcoder 练习赛 17 C 操作数 ( k次前缀和、矩阵快速幂打表找规律、组合数 )

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题意 : 

给定长度为n的数组a，定义一次操作为：

1. 算出长度为n的数组s，使得s_i= (a[1] + a[2] + ... + a[i]) mod 1,000,000,007；

2. 执行a = s；

现在问k次操作以后a长什么样。

分析 :

这种不断求前缀和的操作、可以考虑构造操作矩阵、最后矩阵快速幂求答案

设 dp[k][i] 为第 k 次操作、第 i 个数的值

则可以得到递推式

dp[k][1] = dp[k-1][1]

dp[k][2] = dp[k-1][2] + dp[k][1]

dp[k][3] = dp[k-1][3] + dp[k][2]

...

dp[k][n] = dp[k-1][n] + dp[k][n-1]

然后你会发现这个东西可以用矩阵乘法来替换

则可以构造一个下三角矩阵 ( 举 n = 4 例子 )

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

记为 A

则有

dp[k-1][1]                               dp[k][1]

dp[k-1][2]                               dp[k][2]

dp[k-1][3]                               dp[k][3]

……                *  A   =           ……

则做 k 次前缀和操作、就是乘 A^k

可是这里 n 太大了、进行矩阵乘法的话复杂度过不去

考虑打表找规律

最后你可以发现 A^k 的矩阵和杨辉三角 ( 即组合数 ) 有蜜汁规律

最后矩阵可以变成

C(k, k)

C(k+1, k)      C(k, k)

C(k+2, k)      C(k+1, k)      C(k, k)

C(k+3, k)      C(k+2, k)      C(k+1, k)     C(k, k)

......

根据组合数公式 C(n, m) = C(n, n-m)

C(k, 0)

C(k+1, 1)      C(k, 0)

C(k+2, 2)      C(k+1, 1)      C(k, 0)

C(k+3, 3)      C(k+2, 2)      C(k+1, 1)     C(k, 0)

......

所以只要对于给定的 k 求解所有的 C(k, 0) 、C(k+1, 1) ..... C(k+n, n)

就能快速构造出这个矩阵

最后进行矩阵乘法就是答案

注意特判 k == 0 的情况

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long

#define scl(i) scanf("%lld", &i)
#define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j)
#define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k)
#define scllll(i, j, k, l) scanf("%lld %lld %lld %lld", &i, &j, &k, &l)

#define scs(i) scanf("%s", i)
#define sci(i) scanf("%d", &i)
#define scd(i) scanf("%lf", &i)
#define scIl(i) scanf("%I64d", &i)
#define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j)
#define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j)
#define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j)
#define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k)
#define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k)
#define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k)
#define sciiii(i, j, k, l) scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l)
#define scdddd(i, j, k, l) scanf("%lf %lf %lf %lf", &i, &j, &k, &l)
#define scIllll(i, j, k, l) scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k, &l)

#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
#define lowbit(i) (i & (-i))
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))

#define fir first
#define sec second
#define VI vector<int>
#define ins(i) insert(i)
#define pb(i) push_back(i)
#define pii pair<int, int>
#define VL vector<long long>
#define mk(i, j) make_pair(i, j)
#define all(i) i.begin(), i.end()
#define pll pair<long long, long long>

#define _TIME 0
#define _INPUT 0
#define _OUTPUT 0
clock_t START, END;
void __stTIME();
void __enTIME();
void __IOPUT();
using namespace std;
;
;

LL arr[maxn];
LL A[maxn][maxn];
LL Comb[maxn];
LL inv[maxn];

inline void inv_init()
{
    inv[] = inv[] = ;
    ; i<maxn; i++)
        inv[i] = (LL)(mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
}

int main(void){__stTIME();__IOPUT();

    inv_init();

    int n; sci(n);
    LL k; scl(k);

    ){
        ; i<=n; i++) scl(arr[i]);
        ; i<=n; i++) printf("%lld ", arr[i]);
        puts("");
        ;
    }

    k--;

    Comb[] = 1LL;
    ; i<=n; i++){
        Comb[i] = Comb[i-]%mod;
        Comb[i] = ( Comb[i] * (k + i)%mod )%mod;
        Comb[i] = ( Comb[i] * inv[i]%mod )%mod;
    }

    ; i<=n; i++) scl(arr[i]);
    ; i<=n; i++){
        ; j<=i; j++){
            A[i][j] = Comb[i-j];
        }
    }

//    for(int i=1; i<=n; i++,puts(""))
//        for(int j=1; j<=n; j++)
//            printf("%lld ", A[i][j]);

    ; i<=n; i++){
        LL ans = ;
        ; j<=n; j++)
            ans = ((ans + (A[i][j] * arr[j])%mod + mod)%mod)%mod;
        printf("%lld", ans%mod);
        if(i != n) putchar(' ');
    }puts("");

__enTIME();;}

void __stTIME()
{
    #if _TIME
        START = clock();
    #endif
}

void __enTIME()
{
    #if _TIME
        END = clock();
        cerr<<"execute time = "<<(double)(END-START)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
    #endif
}

void __IOPUT()
{
    #if _INPUT
        freopen("in.txt", "r", stdin);
    #endif
    #if _OUTPUT
        freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif
}