20 October in ss

Contest

A: sum

快速读。

B: 鬼谷子的钱袋（coin）

贪心。

按照类似二进制的方式准备钱袋：1, 2, 4, 8, ... 以此装入的钱袋数目记为 \(N\)。

如果最后剩余不足以凑齐下一个二进制位钱袋，记剩余金币价值为 \(k\)。

当 \(k\notin \{x|x=2^n, n\in\mathbf{N}^*\}\) 时，价值为 \(k\) 的金币另外装一个钱袋；

​当 \(k\in \{x|x=2^n, n\in\mathbf{N}^*\}\) 时，不能同时有两个钱袋装有相同的大于 1 的金币数，此时显然将最大二进制位钱袋金币数 - 1，剩余金币另外装一个钱袋，金币数为 \(k+1\)。

综上所述，总钱袋数为 \(\begin{cases}N, & N=\log_2{(m+1)},N\in\mathbf{N}^*, \\ N+1,& \text{otherwise.} \end{cases}\)

C: master

求最长连续公共字串，\(m\) 次修改机会。

可暴力 AC。

DP 解法：

定义 \(f(i,j,k)\) 为匹配到 A 串的 \(i\) 位置，B 串的 \(j\) 位置时，已经使用了 \(k\) 次修改机会的最长连续公共字串长度。

当 A 串的 \(i\) 位置与 B 串的 \(j\) 位置匹配时，可以匹配，即 \(f(i,j,k)=f(i-1,j-1,k)+1\)；

当 A 串的 \(i\) 位置与 B 串的 \(j\) 位置不匹配时，若 \(k>0\)，此时可以消耗一次修改机会匹配，即 \(f(i,j,k)= f(i-1,j-1,k-1)+1\)；

对于其他情况，无法匹配，即 \(f(i,j,k)=0\)。对于以上取最大值记为 \(f(i,j,k)\)。

统计答案为 \(\max\{f(i,j,k)\}\)。

D: 粉刷匠（paint）

Windy 有 \(N\) 条木板需要被粉刷。 每条木板被分为 \(M\) 个格子。 每个格子要被刷成红色或蓝色。 Windy 每次粉刷，只能选择一条木板上一段连续的格子，然后涂上一种颜色。 每个格子最多只能被粉刷一次。 如果 Windy 只能粉刷 \(T\) 次，他最多能正确粉刷多少格子？ 一个格子如果未被粉刷或者被粉刷错颜色，就算错误粉刷。

DP。

对于每一条木板，定义 \(f(i,j)\) 为前 \(i\) 个格子粉刷 \(j\) 次的最大正确粉刷数目（即价值）。

易得 \(f(i,j)=\max\left\{f(i-1,j), \max\limits_{k=1,2,\ldots,i}\Big\{f(i-k,j-1)+sum(i,i-k), k-sum(i,i-k)\Big\}\right\}\)。

其中 \(sum(i,j)\) 定义为在第 \(i\) 至第 \(j\) 个格子中颜色为蓝色的数目。用前缀和实现。

对于所有木板，定义 \(g(i,j)\) 为前 \(i\) 条木板粉刷 \(j\) 次的最大正确粉刷数目。

同理可得 \(g(i,j)=\max\left\{g(i-1,j), \max\limits_{k=1,2,\ldots,j}\Big\{g(i-1,j-k)+f(m,k)\Big\}\right\}\)。

答案为 \(\max\limits_{i=1,2,\ldots,T}\left\{g(n,i)\right\}\)。