Bzoj 1562: [NOI2009]变换序列 匈牙利算法,二分图匹配

题目: http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=409

409. [NOI2009]变换序列

★★☆   输入文件：transform.in   输出文件：transform.out   简单对比
时间限制：1 s   内存限制：128 MB

【问题描述】

       对于N个整数0, 1, ……, N-1，一个变换序列T可以将i变成Ti，其中

定义x和y之间的距离。给定每个i和Ti之间的距离D(i,Ti)，

你需要求出一个满足要求的变换序列T。如果有多个满足条件的序列，输出其中字典序最小的一个。

 

说明：对于两个变换序列S和T，如果存在p<N，满足对于i=0,1,……p-1，Si=Ti且Sp<Tp，我们称S比T字典序小。

【输入文件】

       输入文件transform.in的第一行包含一个整数N，表示序列的长度。接下来的一行包含N个整数Di，其中Di表示i和Ti之间的距离。

【输出文件】

       输出文件为transform.out。

如果至少存在一个满足要求的变换序列T，则输出文件中包含一行N个整数，表示你计算得到的字典序最小的T；否则输出”No Answer”（不含引号）。注意：输出文件中相邻两个数之间用一个空格分开，行末不包含多余空格。

【输入样例】

5

1 1 2 2 1

【输出样例】

1 2 4 0 3

【数据规模和约定】

20%的数据中N≤50；

60%的数据中N≤500；

100%的数据中N≤10000。

 

题解：

二分图匹配+匈牙利算法

设原序列值为x[0],x[1],x[2]......x[n-1]，要变成的序列值为y[0],y[1],y[2]......y[n-1].

原序列也就是0,1,2......n-1，即x[0]=0,x[1]=1,x[2]=2......x[n-1]=n-1.

首先，通过样例可以想到每一个值x[i]可以变成的 y[i]的取值最多只有两个，但为什么，证明如下：

 

设a=| x[i] - y[i] |，且a ≤ (n-a)，其中a,(n-a)都为差值(由题目中可知)

 

对于每一个x[i]，我们有y[i]=x[i]±a或y[i]=x[i]±(n-a).

 

因为每个x[i]和y[i]要满足0≤x[i]≤n-1,0≤y[i]≤n-1，且y[i]=x[i]±a或y[i]=x[i]±(n-a).

 

则可以得到：  x[i]+a≤n-1   --------------   (1)式

                   x[i]-a≥0       --------------   (2)式

                   x[i]+(n-a)≤n-1  ----------    (3)式

                   x[i]-(n-a)≥0   -------------   (4)式

 

(3)式化简可得 : x[i]-a≤-1

 

(4)式移项可得 : x[i]+a≥n

 

观察四个式子，我们可以发现 ：(1)式 和 (4)式 是矛盾的，(2)式 和(3)式 是矛盾的.

 

所以，我们只能在 (1)式 和 (4)式 中选一个，(2)式 和(3)式 中选一个.

 

证毕.

 

然后，有了这个结论，我们就把题目变成了 ：给出0...n-1，还给出了每个数的变化量（变化量给的是绝对值，也就是可以变化的差值），每个数都必须要 变化 且 恰好变化给定的差值 ，每个数可以变成两个数（上面已经证明），让你 变成0...n-1 且 使变后的序列 字典序 最小。

就可以跑匈牙利了（迷之时间复杂度。。。）

其实就是要判断是否 完美匹配 。若没有 完美匹配 ，则输出无解。

注意匈牙利要倒着跑，可以跑出 字典序 最小。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define MAXN 10010
 int BF[MAXN],BF1[MAXN],d[MAXN],prey[MAXN],n,f[MAXN][];
 //bool f[MAXN][MAXN];
 bitset<MAXN> vis;
 int read()
 {
     int s=,fh=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')fh=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){s=s*+(ch-'');ch=getchar();}
     return s*fh;
 }
 int Xyl(int u)
 {
     int i,v;
     for(i=;i<=;i++)
     {
         v=f[u][i];
         if(vis[v]==)
         {
             vis[v]=;
             if(Xyl(BF[v])==||BF[v]==)
             {
                 BF[v]=u;
                 BF1[u]=v;
                 return ;
             }
         }
     }
     return ;
 }
 int main()
 {
     freopen("transform.in","r",stdin);
     freopen("transform.out","w",stdout);
     int i,ans,dd,gs;
     n=read();
     memset(f,false,sizeof(f));
     for(i=;i<n;i++)
     {
         d[i]=read();dd=n-d[i];
         gs=-;
         if(i-d[i]>=)f[i][++gs]=i-d[i];
         if(i+d[i]<=n-)f[i][++gs]=i+d[i];
         if(i-dd>=)f[i][++gs]=i-dd;
         if(i+dd<=n-)f[i][++gs]=i+dd;
         if(f[i][]>=f[i][])swap(f[i][],f[i][]);
     }
     memset(BF,,sizeof(BF));ans=;
     memset(prey,-,sizeof(prey));
     for(i=n-;i>=;i--)
     {
         vis.reset();
         ans+=Xyl(i);
         //prey[i]=BF1[i];
     }
     if(ans!=n)printf("No Answer");
     else
     {
         //for(i=0;i<n;i++)BF1[BF[i]]=i;
         for(i=;i<n;i++)printf("%d ",BF1[i]);
     }
     fclose(stdin);
     fclose(stdout);
     return ;
 }