动态规划算法（后附常见动态规划为题及Java代码实现）

一、基本概念

动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

二、基本思想与策略

基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。

与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

以上都过于理论，还是看看常见的动态规划问题吧！！！

三、常见动态规划问题

1、找零钱问题

有数组penny，penny中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim(小于等于1000)代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。
给定数组penny及它的大小(小于等于50)，同时给定一个整数aim，请返回有多少种方法可以凑成aim。
测试样例：
[1,2,4],3,3
返回：2

解析：设dp[n][m]为使用前n中货币凑成的m的种数，那么就会有两种情况：

使用第n种货币：dp[n-1][m]+dp[n-1][m-peney[n]]

不用第n种货币：dp[n-1][m]，为什么不使用第n种货币呢，因为penney[n]>m。

这样就可以求出当m>=penney[n]时 dp[n][m] = dp[n-1][m]+dp[n-1][m-peney[n]]，否则，dp[n][m] = dp[n-1][m]

代码如下：

1. <span style="font-size:18px;">import java.util.*;
2. public class Exchange {
3. public int countWays(int[] penny, int n, int aim) {
4. // write code here
5. if(n==0||penny==null||aim<0){
6. return 0;
7. }
8. int[][] pd = new int[n][aim+1];
9. for(int i=0;i<n;i++){
10. pd[i][0] = 1;
11. }
12. for(int i=1;penny[0]*i<=aim;i++){
13. pd[0][penny[0]*i] = 1;
14. }
15. for(int i=1;i<n;i++){
16. for(int j=0;j<=aim;j++){
17. if(j>=penny[i]){
18. pd[i][j] = pd[i-1][j]+pd[i][j-penny[i]];
19. }else{
20. pd[i][j] = pd[i-1][j];
21. }
22. }
23. }
24. return pd[n-1][aim];
25. }
26. }</span>

2、走方格问题

有一个矩阵map，它每个格子有一个权值。从左上角的格子开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有的路径中最小的路径和。
给定一个矩阵map及它的行数n和列数m，请返回最小路径和。保证行列数均小于等于100.
测试样例：
[[1,2,3],[1,1,1]],2,3
返回：4

解析：设dp[n][m]为走到n*m位置的路径长度，那么显而易见dp[n][m] = min(dp[n-1][m],dp[n][m-1]);

代码如下：

1. <span style="font-size:18px;">import java.util.*;
2. public class MinimumPath {
3. public int getMin(int[][] map, int n, int m) {
4. // write code here
5. int[][] dp = new int[n][m];
6. for(int i=0;i<n;i++){
7. for(int j=0;j<=i;j++){
8. dp[i][0]+=map[j][0];
9. }
10. }
11. for(int i=0;i<m;i++){
12. for(int j=0;j<=i;j++){
13. dp[0][i]+=map[0][j];
14. }
15. }
16. for(int i=1;i<n;i++){
17. for(int j=1;j<m;j++){
18. dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+map[i][j],dp[i-1][j]+map[i][j]);
19. }
20. }
21. return dp[n-1][m-1];
22. }
23. public int min(int a,int b){
24. if(a>b){
25. return b;
26. }else{
27. return a;
28. }
29. }
30. }</span>

3、走台阶问题

有n级台阶，一个人每次上一级或者两级，问有多少种走完n级台阶的方法。为了防止溢出，请将结果Mod 1000000007
给定一个正整数int n，请返回一个数，代表上楼的方式数。保证n小于等于100000。
测试样例：
1
返回：1

解析：这是一个非常经典的为题，设f(n)为上n级台阶的方法，要上到n级台阶的最后一步有两种方式：从n-1级台阶走一步；从n-1级台阶走两步，于是就有了这个公式f(n) = f(n-1)+f(n-2);

代码如下：

1. <span style="font-size:18px;">import java.util.*;
2. public class GoUpstairs {
3. public int countWays(int n) {
4. // write code here
5. if(n<=2)
6. return n;
7. int f = 1%1000000007;
8. int s = 2%1000000007;
9. int t = 0;
10. for(int i=3;i<=n;i++){
11. t = (f+s)%1000000007;
12. f = s;
13. s = t;
14. }
15. return t;
16. }
17. }</span>

4、最长公共序列数

给定两个字符串A和B，返回两个字符串的最长公共子序列的长度。例如，A="1A2C3D4B56”，B="B1D23CA45B6A”，”123456"或者"12C4B6"都是最长公共子序列。
给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。
测试样例：
"1A2C3D4B56",10,"B1D23CA45B6A",12
返回：6

解析：设dp[n][m] ，为A的前n个字符与B的前m个字符的公共序列长度，则当A[n]==B[m]的时候，dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i-1][j],dp[i][j-1])，否则，dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

代码如下：

1. <span style="font-size:18px;">import java.util.*;
2. public class LCS {
3. public int findLCS(String A, int n, String B, int m) {
4. // write code here
5. int[][] dp = new int[n][m];
6. char[] a = A.toCharArray();
7. char[] b = B.toCharArray();
8. for(int i=0;i<n;i++){
9. if(a[i]==b[0]){
10. dp[i][0] = 1;
11. for(int j=i+1;j<n;j++){
12. dp[j][0] = 1;
13. }
14. break;
15. }
16. }
17. for(int i=0;i<m;i++){
18. if(a[0]==b[i]){
19. dp[0][i] = 1;
20. for(int j=i+1;j<m;j++){
21. dp[0][j] = 1;
22. }
23. break;
24. }
25. }
26. for(int i=1;i<n;i++){
27. for(int j=1;j<m;j++){
28. if(a[i]==b[j]){
29. dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
30. }else{
31. dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
32. }
33. }
34. }
35. return dp[n-1][m-1];
36. }
37. public int max(int a,int b,int c){
38. int max = a;
39. if(b>max)
40. max=b;
41. if(c>max)
42. max = c;
43. return max;
44. }
45. }</span>