ZOJ 3599 K倍动态减法游戏

下面的文字辅助理解来自http://blog.csdn.net/tbl_123/article/details/24884861

博弈论中的 K倍动态减法游戏，难度较大，参看了好多资料才懵懂！

此题可以看作 Fibonacci 博弈的扩展，建议没弄懂 Fibonacci博弈的先学那个，个人整理 http://blog.csdn.net/tbl_123/article/details/24033245 ；

而说扩展体现在数列不再是Fib数列，是根据 k 的值自行构造的，其它换汤不换药，具体构造方法如下：

这儿方便说明白，首先根据k的值分情况讨论：

1) 当 k = 1 时，必败态为 n = 2 ^ i, 因为我们把数按二进制分解后，拿掉二进制的最后一个1，那么对方必然不能拿走倒数第二位的1，因为他不能拿的比你多。你只要按照这个策略对方一直都不可能拿完。所以你就会赢。而当分解的二进制中只有一个1时，因为第一次先手不能全部取完，所以后手一定有办法取到最后一个1，所以必败！

举个例子，当 n = 6 = （110）时:

第一轮：先手第一次取最右边的1，即2个，此时还剩4（100）个，后手能取1或2个；

第二轮：假如上轮后手取的两个，先手再取两个直接赢了

假如后手取了一个，那么还剩三个，自己只能去1个，以后也只能取一个，所以必胜！

2) 当 k = 2 时，赤裸裸的Fibonacci博弈了，具体这儿不多说，自己再上述博客已写的很明白了。其实n经拆解后也可以表示成二进制的形式，用 k = 1时的方法来理解，比如 n = 11 = 7 + 3 + 1，可表示成 10101；

3) 当 k 取任意非零正值时，重点来了：

犹如Fibonacci博弈，我们首先要求一个数列，将n分解成数列中一些项的和，然后就可以按Fibonacci博弈的解决方法来完成，也可以按二进制的方法来理解，每次取掉最后一个1 还是符合上面的条件。

我们用a数组表示要被求的数列，b数组中的b[i]保存 a[0...i] 组合能够构造的最大数字。这儿有点难理解，所谓构造就是指n分解为Fib数相加的逆过程。举例说明，当k = 2 时，a[N]={1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33....} （Fibonacci数组）；那么b[3] 即 1、2、 3 能够构造的最大数字，答案是4，有点匪夷所思？或许你会问为什么不是5、6或者其它的什么，其实是这样的 ，4 能分解成 1+3 是没有争议的，但5能分解成2+3吗? 不能，因为5本身也是Fibonacci数；6虽然能分解，但不是分解成1+2+3，而是分解成1+5。

经过上述，我们知道b[i] 是 a[0...i] 能够构造出的最大数字，那么a[i +1] = b[i]+1；因为a数组（Fib数组）所存的数字都是不可构造的（取到它本身就是必败态），显然a[0...i]构造的最大数字 + 1 即为下一个不可构造的数字了(a[i + 1])。

然后关于b[i]的计算，既然是a[0...i]构造最大数字，那么 a[i]是一定要选用的（这儿需要一定的推理，a[i]构造数字时，相邻的j个是不能同时用的，就像上述的2、3不能构造出5一样，推理请自己完成），那么要选用的下一项只能递减寻找，直到找到 a[t] 满足 a[t] * K < a[i] ，而b[t]就是a[0...t]所能构造的最大数字，再加上a[i], 即为a[0...i]能构造的最大数字，于是b[i] = b[t] + a[i]。

求的数列后，之后的工作就简单了，跟Fibonacci博弈一样一样的，如果n=数列中的数，则必败，否则必胜；必胜时还要求输出第一步取法，其实就是分解的数列中最小的一个，将见代码。

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <climits>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define PI 3.1415926535897932626
using namespace std;
int gcd(int a, int b) {return a % b ==  ? b : gcd(b, a % b);}
LL a[],b[];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        LL N,M;
        cin >> M >> N;
        a[] = b[] = ;
        int i =  ,j = ;
        while (N > a[i])
        {
            i++;
            a[i] = b[i - ] + ;
            while (a[j + ] * M < a[i]) j++;
            if (a[j] * M < a[i]) b[i] = b[j] + a[i];
            else b[i] = a[i];
        }
        LL ans;
        if (N == a[i]) ans = N - i - ;
        else ans = N - i;
        cout << ans << endl;
    }
    return ;
}