「TJOI2015」线性代数

题目链接

$Describe$

题目描述

为了提高智商,$ZJY$开始学习线性代数。她的小伙伴菠萝给她出了这样一个问题:给定一个$n×n$的矩阵$B$和一个$1×n$的矩阵$C$。求出一个$1×n$的$01$矩阵$A$。使得$D=(A*B-C)*A^T$ 最大,其中$A^T$为$A$的转置。输出$D$。

输入格式：

第一行输入一个整数$n$。接下来$n$行输入$B$矩阵,第$i$行第$j$个数代表$B$接下来一行输入$n$个整数,代表矩阵$C$。矩阵$B$和矩阵$C$中每个数字都是不过$1000$的非负整数

输出格式：

输出一个整数,表示最大的$D$。

输入样例:

3

1 2 1

3 1 0

1 2 3

2 3 7

输出样例：

2

$Solution$

首先来化简一下式子

\[D=(A*B-C)*A^T
\]

\[=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n}A_j*B_{j,i}-C_i)*A_i
\]

\[=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_i*A_j*B_{i,j}-\sum_{i=1}^{n}C_i*A_i
\]

因为题目已经说明了$A$是一个$01$串,所以我们可以发现当$A_i$为$0$的时候对答案并没有任何贡献，不用计算。当$A_i$为$1$时，会有$C_i$的花费。但如果同时选$j$会有$B_{i,j}$的花费.所以这显然是一个最小割模型了。讲1看为选，0为不选

建图：

将每个$B_{ij}$看做一个点,总共有$n*n$个点。将这$S$和这$n*n$个点相连，流量为$B_{i,j}$
新建$n$个点。将这些点和$T$相连，流量为$C_i$
将$n*n$个点和新建节点中的$i,j$相连，流量为$inf$

答案就是$B$矩阵内的和-最小割

$Code$

#include<bits/stdc++.h>

#define inf 1e9

using namespace std;

typedef long long ll;

int read(){

    int x=0,f=1;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();

    return x*f;

}

struct node{

    int to,next,v;

}a[2000001];

int head[1000001],cnt,n,m,s,t,x,y,z,dep[260000],sum,cur[260000];

void add(int x,int y,int c){

    a[++cnt].to=y,a[cnt].next=head[x],a[cnt].v=c,head[x]=cnt;

    a[++cnt].to=x,a[cnt].next=head[y],a[cnt].v=0,head[y]=cnt;

}

queue<int> q;

int bfs(){

    memset(dep,0,sizeof(dep));

    q.push(s);

    dep[s]=1;

    while(!q.empty()){

        int now=q.front();

        q.pop();

        for(int i=head[now];i;i=a[i].next){

            int v=a[i].to;

            if(!dep[v]&&a[i].v>0)

                dep[v]=dep[now]+1,q.push(v);

        }

    }

    if(dep[t])

        return 1;

    return 0;

}

int dfs(int k,int list){

    if(k==t||!list)

        return list;

    for(int &i=cur[k];i;i=a[i].next){

        int v=a[i].to;

        if(dep[v]==dep[k]+1&&a[i].v>0){

            int p=dfs(v,min(list,a[i].v));

            if(p){

                a[i].v-=p;

                i&1?a[i+1].v+=p:a[i-1].v+=p;

                return p;

            }

        }

    }

    return 0;

}

int Dinic(){

    int ans=0,k;

    while(bfs()){

        for(int i=s;i<=t;i++)

            cur[i]=head[i];

        while((k=dfs(s,inf)))

            ans+=k;

    }

    return ans;

}

int main(){

    n=read(),s=0,t=n*n+n+1;

    for(int i=1;i<=n;i++)

        for(int j=1;j<=n;j++)

            x=read(),sum+=x,add(s,(i-1)*n+j,x),add((i-1)*n+j,i+n*n,inf),add((i-1)*n+j,j+n*n,inf);

    for(int i=1;i<=n;i++)

        x=read(),add(i+n*n,t,x);

    printf("%d\n",sum-Dinic());

}