【算法】高斯消元-异或方程组

【题解】良心简中题意

首先开关顺序没有意义。

然后就是每个点选或不选使得最后得到全部灯开启。

也就是我们需要一种确定的方案,这种方案使每盏灯都是开启的。

异或中1可以完美实现取反

故令xi表示第i盏灯的开关情况,然后对每盏灯的亮灭列方程,即

(1*x1)^(1*x2)^(0*x3)=1  该方程表示第1、2盏灯和该灯相邻(或就是该灯)

就这样n个方程对应n盏灯的亮灭。

题目不保证唯一解,所以可能存在自由元(即多解)

之后就从n到1进行DFS,确定一个算一个。DFS中可以用最优性剪枝。

注意:虽然没有回代过程,a[x][n+1]的值仍然会改变得不一样,所以在dfs中每次要借用这个值必须用t来代之修改。不然动到原值,之后引用就会出错。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=,inf=0x3f3f3f3f;
int tot=,n,a[maxn][maxn],anss,ans,A[maxn],m; void gauss(){
for(int i=;i<=n;i++){
int r=;
for(int j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){r=j;break;}
if(r==)continue;
if(r!=i)for(int j=;j<=n+;j++)swap(a[i][j],a[r][j]);
for(int k=i+;k<=n;k++)if(a[k][i])
for(int j=i;j<=n+;j++)a[k][j]^=a[i][j];
}
} void dfs(int x){
if(anss>=ans)return;
if(x==){ans=anss;return;}
if(a[x][x]){
int t=a[x][n+];
for(int i=x+;i<=n;i++)t^=a[x][i]*A[i];
A[x]=t;
if(t)anss++;
dfs(x-);
if(t)anss--;
}
else{
A[x]=;dfs(x-);
A[x]=;anss++;dfs(x-);anss--;
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
int u,v;
for(int i=;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
a[u][v]=a[v][u]=;
}
for(int i=;i<=n;i++)a[i][i]=a[i][n+]=;
gauss();
ans=inf;anss=;
dfs(n);
printf("%d",ans);
return ;
}

另一种比较慢的是折半搜索(二分),技巧性比较强,空间换时间。

用二进制记录状态,枚举前半数点决策得到每个状态的最少按钮数。

枚举后半数点觉得得到的每个状态与契合状态(当前状态+契合状态=111111)的最少按钮数相加得到答案。

实质是通过记录状态,分段枚举,大大节约了时间。

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