noip数论复习总结

（上不了p站我要死了，侵权度娘背锅）

勉勉强强算是把数论复习的差不多了。

总结一下吧。

其实数论的知识大部分是结合在一起的，勉强分类总结

组合数

求法

组合数的求法根据不同情况选用不同的方法



2、3都是建立在模数为质数的基础上，而1、4适用于任何情况（数据范围内）。4的详细做法点这里。

另外，阶乘的逆元可以o(n)求，以前一直用的o(nlogn)的。。具体做法点这里。

卡特兰数

算是一种组合数的特殊运用。通常如果题目中有暗示“任何时候某数都大于等于另一个数”，就多半是卡特兰数。

卡特兰数的递推公式：C(2n,n)-C(2n,n+1)（记忆法点这里）

直接公式：C(2n,n)/(n+1)

组合数的化简

有些时候列出来的式子太长，难以计算。可以通过组合数的等价转化和递推公式（杨辉三角）来化简式子。例如：bzoj4403

有以下的方法：

1、添项法：+1-1=C(n,n)-1

2、等价法：C(n,n)=C(n+1,n+1)

3、合并（拆项）：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)

中国剩余定理（孙子定理）

基础公式

（mi两两互质）



M为所有的mi的乘积，Mi=M/mi，Mi^-1是在模mi意义下的逆元

证明很好证明，带进去化简，发现与上述的式子等价。

拓展孙子定理

使用于任意的mi，但是要复杂的多（这里就不赘述了）

主要的思路就是同于方程转化为等于方程，相当于解方程，合并上去。

在Lucas定理上的应用

Lucas定理的前提是模数为质数。当模数不为质数，但其质因子的指数都等于1时，可以用孙子定理来解决。例如：bzoj1951

线性筛与积性函数

这算不算是终于明白了线性筛？

之前考了一次线性筛筛积性函数，这个积性函数的陌生的，所以只能用一般套路。以前筛欧拉、莫比乌斯都是背的板子。。

详情点这里

欧拉函数

phi(i)表示1到i中与i互质的数的个数

对于欧拉函数，

一是灵活运用其定义，如bzoj2818（没写题解）

二是运用公式： 来解决一些有关gcd的问题

欧拉定理

费尔马小定理

拓展欧拉定理

常常用在幂运算的指数的取模上

拓展欧几里得

基本用途：解方程

拓展用途：求逆元（比欧拉定理求逆元来的快）

容斥原理

这是个高级玩意，以前一直都不太会用。一般有dfs的形式，也有线性的形式。还学到了一个快速统计子集和快速容斥的高级东西。

矩阵

dp的快速递推

通常是这样的形式：



不一定是01，具体情况具体分析，现场模拟一下就好了。

因为有矩阵快速幂这玩意，所以对于递推的dp，可以很快的处理到10^7以上的项。

矩阵乘本身的性质

如hdu1257

朱爷太强了，%%%

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大概就到这里吧

就复习了这些，整理一下