bzoj 3160 万径人踪灭 FFT

万径人踪灭

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HINT

题目大意：给定一个由'a'和'b'构成的字符串，求不连续回文子序列的个数

首先回文一定是将字符串倍增 由于求的是不连续回文子序列的个数 因此我们可以求出总回文子序列的个数，然后减掉连续的

连续的就是回文子串 用Manacher算法可以O(n)求解

不连续的就有些难搞了

首先我们令f[i]表示以i为中心的对称字符对个数

比如s[]=$#a#b#a 那么s[4]='b' f[4]=2

那么对于每个中心i我们有(2^f[i])-1种方案 答案即Σ[1<=i<=n*2+1]((2^f[i])-1)

问题就是如何求出f[]数组

我们发现对f[i]有贡献的一对字符在原字符串数组中的位置之和一定是i

比如str+1="aba" 那么第一个字符和第三个字符对倍增后的字符串的第4个位置有贡献

那么显然有f[i]=(Σ[1<=j<=i-1]bool(str[j]==str[i-j]))+1>>1 括号里面是一个卷积的形式 可以用FFT进行求解

首先考虑'a'对答案的贡献 那么令'a'=1 'b'=0 求出卷积就是'a'的贡献

再考虑'b'对答案的贡献 令'a'=0 'b'=1 求出卷积就是'b'的贡献

两次贡献之和+1>>1就是f[]数组 代入之前的结论中即可出解

其中的数值是0和1代入

 #pragma GCC optimize(2)
 #pragma G++ optimize(2)
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>

 #define mod 1000000007
 #define ll long long
 #define pi acos(-1)
 #define N 300007
 using namespace std;
 inline int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(isdigit(ch)){x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }

 int n,m,len,L;
 ll ans;char ch[N];
 int rev[N],bin[N],p[N];
 struct comp
 {
     double r,v;
     void init(){r=v=;}
     inline comp operator+(const comp &a){return(comp){r+a.r,v+a.v};}
     inline comp operator-(const comp &a){return(comp){r-a.r,v-a.v};}
     inline comp operator*(const comp &a){return(comp){r*a.r-v*a.v,r*a.v+v*a.r};}
 }a[N],f[N],g[N];

 void manacher()
 {
     ch[]='+',ch[len+]='-';
     int id,mx=;
     for(int i=;i<=len;i++)
     {
         if(mx>i)p[i]=min(p[*id-i],mx-i+);
         else p[i]=;
         while(ch[i+p[i]]==ch[i-p[i]])p[i]++;
         if(i+p[i]->mx)mx=i+p[i]-,id=i;
         (ans-=p[i])%=mod;
     }
     mx=;
     for(int i=;i<=len;i++)
     {
         if(mx>i)p[i]=min(mx-i,p[*id-i]);
         else p[i]=;
         while(ch[i+p[i]+]==ch[i-p[i]])p[i]++;
         if(i+p[i]>mx)mx=i+p[i],id=i;
         (ans-=p[i])%=mod;
     }
 }
 void FFT(comp *a,int f)
 {
     for(int i=;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
     for(int i=;i<n;i<<=)
     {
         comp wn=(comp){cos(pi/i),f*sin(pi/i)};
         for (int j=;j<n;j+=(i<<))
         {
             comp w=(comp){,};
             for (int k=;k<i;k++,w=w*wn)
             {
                 comp x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                 a[j+k]=x+y,a[j+k+i]=x-y;
             }
         }
     }
     if(f==-)for (int i=;i<n;i++)a[i].r/=n;
 }
 int main()
 {
     bin[]=;for (int i=;i<=;i++)bin[i]=(bin[i-]<<)%mod;
     scanf("%s",ch+);len=strlen(ch+);
     manacher();
     m=*(len-);for(n=;n<=m;n<<=,L++);if(L)L--;
     for(int i=;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<L);
     for (int i=;i<len;i++)a[i].r=(ch[i+]=='a')?:;
     FFT(a,);
     for (int i=;i<n;i++)f[i]=a[i]*a[i];
     FFT(f,-);
     for (int i=;i<n;i++)a[i].init();
     for (int i=;i<len;i++)a[i].r=(ch[i+]=='b')?:;
     FFT(a,);
     for (int i=;i<n;i++)g[i]=a[i]*a[i];
     FFT(g,-);
     for (int i=;i<n;i++)
     {
         int x=(int)(f[i].r+0.5)+(int)(g[i].r+0.5);
         ans+=bin[(x+)/]-;
         ans%=mod;
     }
     printf("%lld",(ans+mod)%mod);
 }