【BZOJ3930】[CQOI2015] 选数（容斥）

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大致题意： 让你求出在区间\([L,H]\)间选择\(n\)个数时，有多少种方案使其\(gcd\)为\(K\)。

容斥

原以为是一道可怕的莫比乌斯反演题。

但是，数据范围中有这样一句话：\(H-L\le10^5\)。

于是，它就变成了一道可以用容斥乱搞的题目。

大致思路

首先，我们将\(L\)与\(H\)分别除以\(K\)（注意\(L\)向上取整，\(H\)向下取整，这应该还是比较好理解的）。

然后我们在\([1,H-L]\)之间枚举\(i\)，假设\(x\)表示\([L,H]\)区间内选出\(i\)的倍数的个数，则选择\(n\)个数使得这些数全部含有约数\(i\)的方案数应为\(x^n-x\)。

那么如何求出最大公约数是\(i\)的方案数呢？

很简单，根据容斥原理，全是\(i\)倍数的方案数中多余的方案数应为最大公约数为\(2i,3i,4i,...\)的方案数，所以我们可以倒着求一遍，得出答案。

具体实现详见代码吧。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 1000000007
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define Dec(x,y) ((x-=(y))<0&&(x+=MOD))
#define Delta 100000
using namespace std;
int n,k,l,r,f[Delta+5];
inline int quick_pow(int x,int y,register int res=1)//快速幂
{
    for(;y;x=1LL*x*x%MOD,y>>=1) if(y&1) res=1LL*res*x%MOD;
    return res;
}
int main()
{
    register int i,j,x,y;
    for(scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&l,&r),(l+=k-1)/=k,r/=k,i=1;i<=r-l;++i) x=(l+i-1)/i,y=r/i,f[i]=quick_pow(y-x+1,n),Dec(f[i],y-x+1);//求出含有约数i的方案数f[i]
    for(i=r-l;i;--i) for(j=i<<1;j<=r-l;j+=i) Dec(f[i],f[j]);//容斥，求出gcd为i的方案数f[i]
    return printf("%d",f[1]+(l==1)),0;//特判l=1的情况，将f加1
}