Luogu P4932 浏览器(二进制)

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题意

题目背景

__stdcall在用\(Edge\)玩\(slay\)的时候，鼠标会经常失灵，这让她十分痛苦，因此她决定也要让你们感受一下\(Edge\)制造的痛苦。

题目描述

__stdcall给了你\(n\)个点，第\(i\)个点有权值\(x[i]\)，对于两个点\(u\)和\(v\)，如果\(x[u]\ xor\ x[v]\)的结果在二进制表示下有奇数个\(1\)，那么在\(u\)和\(v\)之间连接一个\(Edge\)，现在__stdcall想让你求出一共有多少个\(Edge\)。

如果你没能成功完成任务，那么__stdcall会让你痛苦一下，你这个测试点就没分了。

输入输出格式

输入格式：

一行六个整数，\(n,a,b,c,d,x[0]\)。

\(n\)是点的个数，每个点的权值需要用如下的方式生成。

你需要使用\(a,b,c,d\)和\(x[0]\)生成一个数组\(x\)，生成方式是这样的。

\[x_i=(ax_{i-1}^2+bx_{i-1}+c)\mod d
\]

\(x[i]\)就是第\(i\)个点的权值，点的标号是\(1\)到\(n\)。

输出格式：

输出一个整数，表示一共有多少个\(Edge\)。

输入输出样例

输入样例#1：

8 98 24 20 100 44

输出样例#1：

12

输入样例#2：

1000 952537 601907 686180 1000000 673601

输出样例#2：

249711

说明

我们用\(v\)表示权值中的最大值。

对于前\(20\%\)的数据，\(n\leq 10\)。

对于前\(40\%\)的数据，\(n\leq 100\)。

对于前\(60\%\)的数据，\(n\leq 1000\)。

对于前\(80\%\)的数据，\(n\leq 1e6\)。

对于前\(90\%\)的数据，\(v\leq 1e6\)。

对于\(100\%\)的数据，\(n\leq 1e7,v\leq1e9\)。

保证\(a,b,c,d,x[0]\)都是\(int\)内的非负整数。

思路

O(n^2)做法：

我们直接把\(x\)数组搞出来，然后暴力两两匹配看两者的异或值的二进制表示是否只有一个\(1\)，逐个统计答案。

O(n)做法：

这题的做法是真的好玩。其实就是一个结论：两个数字的异或值在二进制表示下为奇数，当且仅当两个数字的二进制表示中\(1\)的个数一个为奇数，一个为偶数。

比如说两个偶数\(a,b\)，它们的二进制表示下有\(x\)位同为\(1\)，有\(y\)位\(a\)是\(1\)而\(b\)是零，有\(z\)位\(a\)是\(0\)而\(b\)是\(1\)，那么\((x+y)\mod 2=0\)，且\((x+z)\mod 2=0\)，所以有\((x+y+x+z)\mod 2=0\)，也就是\((y+z)\mod 2=0\)。其他情况证明相同。

所以只需要统计出所有数中二进制表示中\(1\)的个数为奇数的数的个数与为偶数的数的个数，相乘得到答案。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,a,b,c,d,ans[2],x;
LL read()
{
    LL re=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return re;
}
int main()
{
    n=read(),a=read(),b=read(),c=read(),d=read(),x=read();
    a%=d,b%=d,c%=d,x%=d;
    for(LL i=1;i<=n;i++) x=(a*x%d*x%d+b*x%d+c)%d,ans[__builtin_popcount(x)&1]++;
    printf("%lld",ans[0]*ans[1]);
    return 0;
}