【牛客小白月赛21】NC201604 Audio

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题目大意：

给出三点 ，求到三点距离相等的点 的坐标。

解析

考点：计算几何基础。

初中蒟蒻表示不会什么法向量、高斯消元。。qwq

方法一：

根据两点间距离公式：

由D到A，B距离相等得（任选两点即可）

两边同时去根号，消去X^2,Y2得

由D到A，C距离相等得

代入Y，得

为了代码美观，防止出错，我们用A1，B1，C1等表示上面的系数和常数项

A1=2*(x2-x1),B1=2*(y2-y1),C1=x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1;
A2=2*(x3-x1),B2=2*(y3-y1),C2=x3*x3+y3*y3-x1*x1-y1*y1;

则

即可解得X

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
	double x1,x2,x3,y1,y2,y3,X,Y;
	double A1,B1,C1,A2,B2,C2;
	scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3);

	A1=2*(x2-x1),B1=2*(y2-y1),C1=x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1;
	A2=2*(x3-x1),B2=2*(y3-y1),C2=x3*x3+y3*y3-x1*x1-y1*y1;

	X=(C2-B2*C1/B1)/(A2-B2*A1/B1);
	Y=(C1-A1*X)/B1;

	printf("%.3lf %.3lf",X,Y);
}

方法二：

由平方反比定律，发现响度相同时只与距离有关，所以我们只需要求一点，使得该点到三角形三个顶点距离相同，即求三角形的外心（三边中垂线交点）。

线段中垂线解析式公式

推导：

给定一线段y=kx+b（一端坐标为(x1,y1),另一端坐标为（x2,y2)）,求其垂直平分线的函数解析式
设其中垂线为f=k1x+c
∵f⊥y
∴k1*k=-1,即k1=-1/k（注：若两直线互相垂直，则k1*k2=-1）
∴f=-1/k*x+c,即f=-x/k+c;

把点（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）代入f=-x/k+c中
得(y1+y2)/2=-((x1+x2)/2)/k+c
化简得c=(y1+y2)/2+(x1+x2)/2k

∴f=-x/k+c代入c即得
f=-x/k+(x1+x2)/2k+(y1+y2)/2

代入k=（y1-y2）/（x1-x2）即得中垂线解析式
（设经过（x1,y1），（x2,y2）两点的解析式为y=kx+b，则由y1=kx1+b，y2=kx2+b两式相减可得k）

联立任意两边的垂直平分线，求垂直平分线的交点即可。

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
	double x1,x2,x3,y1,y2,y3,X,Y,k;
	double k1,b1,k2,b2;//两中垂线解析式中的k，b
	scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3);

	k=(y1-y2)/(x1-x2);
	k1=-1/k,b1=(x1+x2)/2/k+(y1+y2)/2;

	k=(y1-y3)/(x1-x3);
	k2=-1/k,b2=(x1+x3)/2/k+(y1+y3)/2;//求两中垂线解析式

	X=(b2-b1)/(k1-k2);
	Y=k1*X+b1;//联立两中垂线解析式求交点
	printf("%.3lf %.3lf",X,Y);
}