解:极大值至少为1。我们尝试把最大那个数的影响去掉。

最大那个数所在的一层(指一个三维十字架)都是不可能成为最大值的。

考虑容斥。我们试图求除了最大值以外至少有k个极大值的概率。

我们钦定某k个位置是极大值,且钦定顺序。这样的方案数有ni↓mi↓Li↓种。

考虑每种方案的概率。从小到大考虑,对于最小的那个极大值,如果是极大值,就要大于一个三维十字架中的所有数,这样的概率是1 / 集合大小。

对于次小极大值,它要大于自己的三维十字架和最小值的三维十字架的并。概率还是1 / 集合大小。

于是依次考虑完每个极大值,把概率求积即可。容斥的时候记得乘组合数。

 #include <bits/stdc++.h>

 typedef long long LL;

 const int MO = , N = ;

 int n, m, K, L;
int fac[N], inv[N], invn[N]; inline int qpow(int a, int b) {
int ans = ;
while(b) {
if(b & ) ans = 1ll * ans * a % MO;
a = 1ll * a * a % MO;
b = b >> ;
}
return ans;
}
inline int Inv(int x) {
if(x < N) return inv[x];
return qpow(x, MO - );
}
inline int C(int n, int m) {
return 1ll * fac[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;
}
inline int Down(int n, int k) {
return 1ll * fac[n] * invn[n - k] % MO;
}
inline int iDown(int n, int k) {
return 1ll * invn[n] * fac[n - k] % MO;
}
inline int dec(int x) {
return 1ll * (n - x) * (m - x) % MO * (L - x) % MO;
} inline void solve() { scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &L, &K);
int ans = , lm = std::min(std::min(n, m), L);
int V = 1ll * n * m % MO * L % MO;
for(int i = K - ; i <= lm; i++) {
int p = ;
for(int j = ; j <= i; j++) {
p = 1ll * p * (n - i + j - ) % MO * (m - i + j - ) % MO * (L - i + j - ) % MO;
p = 1ll * Inv((V - dec(j) + MO) % MO) * p % MO;
}
p = 1ll * p * C(i, K - ) % MO;
if((K - i) & ) {
ans = (ans + p) % MO;
}
else {
ans = (ans - p) % MO;
}
}
printf("%d\n", (ans + MO) % MO);
return;
} int main() { fac[] = inv[] = invn[] = ;
fac[] = inv[] = invn[] = ;
for(int i = ; i < N; i++) {
fac[i] = 1ll * i * fac[i - ] % MO;
inv[i] = 1ll * inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
invn[i] = 1ll * inv[i] * invn[i - ] % MO;
} //printf(" = %lld \n", 142606337ll * fac[8] % MO); int T;
scanf("%d", &T);
while(T--) {
solve();
} return ;
}

50分代码,帮助理解

 #include <bits/stdc++.h>

 #pragma GCC optimize("Ofast") 

 typedef long long LL;

 const int MO = , N = ;

 int n, m, K, L;
int fac[N], inv[N], invn[N], val[N], ival[N], D[N]; inline int qpow(int a, int b) {
int ans = ;
while(b) {
if(b & ) ans = 1ll * ans * a % MO;
a = 1ll * a * a % MO;
b = b >> ;
}
return ans;
}
inline int Inv(int x) {
if(x < N && x >= ) return inv[x];
return qpow(x, MO - );
}
inline int C(int n, int m) {
if(n < || m < || n < m) return ;
return 1ll * fac[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;
}
inline int Down(int n, int k) {
return 1ll * fac[n] * invn[n - k] % MO;
}
inline int iDown(int n, int k) {
return 1ll * invn[n] * fac[n - k] % MO;
}
inline int dec(int x) {
return 1ll * (n - x) * (m - x) % MO * (L - x) % MO;
} inline void solve() { scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &L, &K);
K--;
int ans(), lm(std::min(std::min(n, m), L));
int V = 1ll * n * m % MO * L % MO; val[] = ;
D[] = V;
for(register int i(); i <= lm; ++i) {
D[i] = (dec(i));
val[i] = 1ll * val[i - ] * (V - D[i]) % MO;
}
ival[lm] = qpow(val[lm], MO - );
for(register int i(lm - ); i >= K; --i) {
ival[i] = 1ll * ival[i + ] * (V - D[i + ]) % MO;
}
int t = 1ll * Down(n - , K - ) * Down(m - , K - ) % MO * Down(L - , K - ) % MO;
for(register int i(K); i <= lm; ++i) {
//t = 1ll * t * (n - i) % MO * (m - i) % MO * (L - i) % MO * inv[i - K] % MO;
t = 1ll * t * D[i] % MO * inv[i - K] % MO;
int p = 1ll * t * ival[i] % MO * fac[i] % MO;
((K + i) & ) ? ans -= p : ans += p;
if(ans >= MO) ans -= MO;
if(ans < ) ans += MO;
}
ans = 1ll * ans * invn[K] % MO;
printf("%d\n", ans < ? ans + MO : ans);
return;
} /*
1
1000 1000 1000 10
*/ int main() { fac[] = inv[] = invn[] = ;
fac[] = inv[] = invn[] = ;
for(register int i(); i < N; ++i) {
fac[i] = 1ll * i * fac[i - ] % MO;
inv[i] = 1ll * inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
invn[i] = 1ll * inv[i] * invn[i - ] % MO;
} //printf(" = %lld \n", 142606337ll * fac[8] % MO); int T;
scanf("%d", &T);
while(T--) {
solve();
} return ;
}

AC代码

这题非常卡常...

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