LOJ#3119 随机立方体

解：极大值至少为1。我们尝试把最大那个数的影响去掉。

最大那个数所在的一层(指一个三维十字架)都是不可能成为最大值的。

考虑容斥。我们试图求除了最大值以外至少有k个极大值的概率。

我们钦定某k个位置是极大值，且钦定顺序。这样的方案数有n^i↓m^i↓L^i↓种。

考虑每种方案的概率。从小到大考虑，对于最小的那个极大值，如果是极大值，就要大于一个三维十字架中的所有数，这样的概率是1 / 集合大小。

对于次小极大值，它要大于自己的三维十字架和最小值的三维十字架的并。概率还是1 / 集合大小。

于是依次考虑完每个极大值，把概率求积即可。容斥的时候记得乘组合数。

 #include <bits/stdc++.h>

 typedef long long LL;

 const int MO = , N = ;

 int n, m, K, L;
 int fac[N], inv[N], invn[N];

 inline int qpow(int a, int b) {
     int ans = ;
     while(b) {
         if(b & ) ans = 1ll * ans * a % MO;
         a = 1ll * a * a % MO;
         b = b >> ;
     }
     return ans;
 }
 inline int Inv(int x) {
     if(x < N) return inv[x];
     return qpow(x, MO - );
 }
 inline int C(int n, int m) {
     return 1ll * fac[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;
 }
 inline int Down(int n, int k) {
     return 1ll * fac[n] * invn[n - k] % MO;
 }
 inline int iDown(int n, int k) {
     return 1ll * invn[n] * fac[n - k] % MO;
 }
 inline int dec(int x) {
     return 1ll * (n - x) * (m - x) % MO * (L - x) % MO;
 }

 inline void solve() {

     scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &L, &K);
     int ans = , lm = std::min(std::min(n, m), L);
     int V = 1ll * n * m % MO * L % MO;
     for(int i = K - ; i <= lm; i++) {
         int p = ;
         for(int j = ; j <= i; j++) {
             p = 1ll * p * (n - i + j - ) % MO * (m - i + j - ) % MO * (L - i + j - ) % MO;
             p = 1ll * Inv((V - dec(j) + MO) % MO) * p % MO;
         }
         p = 1ll * p * C(i, K - ) % MO;
         if((K - i) & ) {
             ans = (ans + p) % MO;
         }
         else {
             ans = (ans - p) % MO;
         }
     }
     printf("%d\n", (ans + MO) % MO);
     return;
 }

 int main() {

     fac[] = inv[] = invn[] = ;
     fac[] = inv[] = invn[] = ;
     for(int i = ; i < N; i++) {
         fac[i] = 1ll * i * fac[i - ] % MO;
         inv[i] = 1ll * inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
         invn[i] = 1ll * inv[i] * invn[i - ] % MO;
     }

     //printf(" = %lld \n", 142606337ll * fac[8] % MO);

     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--) {
         solve();
     }

     return ;
 }

50分代码，帮助理解

 #include <bits/stdc++.h>

 #pragma GCC optimize("Ofast") 

 typedef long long LL;

 const int MO = , N = ;

 int n, m, K, L;
 int fac[N], inv[N], invn[N], val[N], ival[N], D[N];

 inline int qpow(int a, int b) {
     int ans = ;
     while(b) {
         if(b & ) ans = 1ll * ans * a % MO;
         a = 1ll * a * a % MO;
         b = b >> ;
     }
     return ans;
 }
 inline int Inv(int x) {
     if(x < N && x >= ) return inv[x];
     return qpow(x, MO - );
 }
 inline int C(int n, int m) {
     if(n <  || m <  || n < m) return ;
     return 1ll * fac[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;
 }
 inline int Down(int n, int k) {
     return 1ll * fac[n] * invn[n - k] % MO;
 }
 inline int iDown(int n, int k) {
     return 1ll * invn[n] * fac[n - k] % MO;
 }
 inline int dec(int x) {
     return 1ll * (n - x) * (m - x) % MO * (L - x) % MO;
 }

 inline void solve() {

     scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &L, &K);
     K--;
     int ans(), lm(std::min(std::min(n, m), L));
     int V = 1ll * n * m % MO * L % MO;

     val[] = ;
     D[] = V;
     for(register int i(); i <= lm; ++i) {
         D[i] = (dec(i));
         val[i] = 1ll * val[i - ] * (V - D[i]) % MO;
     }
     ival[lm] = qpow(val[lm], MO - );
     for(register int i(lm - ); i >= K; --i) {
         ival[i] = 1ll * ival[i + ] * (V - D[i + ]) % MO;
     }
     int t = 1ll * Down(n - , K - ) * Down(m - , K - ) % MO * Down(L - , K - ) % MO;
     for(register int i(K); i <= lm; ++i) {
         //t = 1ll * t * (n - i) % MO * (m - i) % MO * (L - i) % MO * inv[i - K] % MO;
         t = 1ll * t * D[i] % MO * inv[i - K] % MO;
         int p = 1ll * t * ival[i] % MO * fac[i] % MO;
         ((K + i) & ) ? ans -= p : ans += p;
         if(ans >= MO) ans -= MO;
         if(ans < ) ans += MO;
     }
     ans = 1ll * ans * invn[K] % MO;
     printf("%d\n", ans <  ? ans + MO : ans);
     return;
 }

 /*
 1
 1000 1000 1000 10
 */

 int main() {

     fac[] = inv[] = invn[] = ;
     fac[] = inv[] = invn[] = ;
     for(register int i(); i < N; ++i) {
         fac[i] = 1ll * i * fac[i - ] % MO;
         inv[i] = 1ll * inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
         invn[i] = 1ll * inv[i] * invn[i - ] % MO;
     }

     //printf(" = %lld \n", 142606337ll * fac[8] % MO);

     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--) {
         solve();
     }

     return ;
 }

AC代码

这题非常卡常...