RSA算法的基本原理

记得在我上初一的时候做过这么一道数学竞赛题，就是求7的222次方的个位数字。当时教材上介绍的解题方法是将222分解成4*55+2，然后算出7的2次方个个位数字即为要算的数值。当时年幼无知的我根本不了解整个过程为什么要这么计算，只知道根据规律也可以得出响应的结果，然后后来才知道这个里面蕴含着一个非常重要的定理。

欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，如果算出不大于n且与n互质的正整数个数φ(n)，那么a的φ(n)次方除于n的余数为1.

用公式表明即为：

以3和5两个数为例，假设a=3，n=5，那么不大于5且与5互质的数有1，2，3，4四个数字，那么φ(n)=4，根据公式就可以得出来3的4次方81除于5余数是1.

再回到上题7的222次方的个位数字，其实这道题也就算要计算7的222次方除以10的余数。因为7和10是互质数且φ(10)=4,那么根据欧拉定理便有7的4次方（2401）除以10余数是1。当然无论多少个个位数为1的数相乘其个位数字仍然是1，所以整个题目就转变成算7的二次方了结果是9.

以上所讲的只是笔者曾经做过的一个无关痛痒的数学竞赛题，但是如今这个思想却成了目前地球上最重要的加密算法的基础。目前常用的加密算法主要分为对称加密和非对称加密两种。对称加密就是加密和解密密钥完全一样，这样以来加密解密过程简单而效率高，不过由于传输当中需要把密钥一并传输而是的安全性能下降；而非对称加密则是加密密钥和解密密钥彼此独立，这样使得安全性大大增加，而典型的非对称加密算法便是RSA算法。

RSA算法的基本步骤可以分为以下几步：(以假设A和B通信为例子)

1，A首先选择两个质数，假设这里选择，61和53，实际选择的质数都相当大

2，将两个数相乘得到3233，然后计算出不大于3233且和3233互质的数，根据欧拉函数的定义可以算出是φ(3233)=（61-1）*（53-1）=3120

3，寻找一个不大于3120的质数e，这里选择e=17，然后计算摸反元素，也就是计算一个整数d，是的e和d相乘的数除以3120余数为1。由于e=17，所以这一步可以写出以下等式：17*d = 3120k+1.由于K的值我们不关心，所以也可以写成17d+3120k=1.于是通过解这个二元一次不定方程就可以算出d来。通过辗转相除法计算出一组解为(2753,-15).此时加密公钥为(3233,17),私钥为(3233,2753).

4,真正个通信此时开始，假设A要把信息65发给B，实际上首先计算下式中的C：65¹⁷ ≡ C(mod 3233)，这里计算出的C=2790。然后A将2790发给B

5，当B收到2790后解密，解密实际上就是计算下面的C：2790²⁷⁵³ ≡ C (mod 3233)，当然算出来就是65.此时加密解密的过程就结束了。

通过以上算法可以看出来，如果想破解RSA必须要根据公钥计算出私钥，要想通过3233和17计算出2753必须要首先得到φ(3233)，当然直接去暴力计算φ(3233)必须首先找出来61和53这两个数字。不过可惜的是大数分解目前而言没有相对良好的算法，将一个四位数分解很容易，但是对于一个四十位数恐怕就不是那么容易了，真正强行计算首先还要实现大数相乘算法，两个很大的数相乘所耗费的时间远远不是一条imul指令可以完成的。

当然超级计算机和量子计算机的问世将会对RSA算法的可靠性产生极大威胁，但是随着计算机计算速度的不断提高RSA算法的密钥长度也会不断增长，其破解难度恐怕也会不断增加，但谁能笑到最后还是得等时间的答复。今天就只简单写了下RSA算法的基本原理和步骤，回头再写数学基础以及证明。