能轻松背板子的FWT（快速沃尔什变换）

FWT应用

我不知道\(FWT\)的严格定义

百度百科和维基都不知道给一坨什么**东西

FWT（Fast Walsh Fransform），中文名快速沃尔什变换

然后我也不知道\(FWT\)到底是什么

你们怎么念FWT的反正我念扶卧塔

\(FFT\)当然可以做多项式卷积

形如\(C(k)=\sum_{i+j=k}f[i]g[j]\)，很简单，大家都会

由于有这个性质所以也可做分治\(FFT\)

但是如果把\(i+j\)换一下操作符

变成\(C(k)=\sum_{i???j=k}f[i]g[j]\)

其中\(???\)可以是\(or,and,xor\)三种运算

这时就要用\(FWT\)来做特殊卷积了

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结论

类似\(FFT\)，把当前多项式\(A\)拆成前一半\(A_0\)和后一半\(A_1\)

注意不是奇数项和偶数项，只是前一半和后一半……（狗头保命）

也可知\(FWT\)也只能处理长度为\(2\)的次幂的多项式

or

\[FWT(A)=merge(FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1))
\]

\[IFWT(A)=merge(IFWT(A_0),IFWT(A_0)-IFWT(A_1))
\]

and

\[FWT(A)=merge(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1))
\]

\[IFWT(A)=merge(IFWT(A_0)-IFWT(A_1),IFWT(A_1))
\]

xor

\[FWT(A)=merge(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))
\]

\[IFWT(A)=merge({{IFWT(A_0)+IWFT(A_1)}\over 2},{IFWT(A_0)-IFWT(A_1)\over 2})
\]

\(+\)就是每一位值加起来，不知道\(merge\)是什么东西？

其实就是两个多项式前后拼起来……（狗头保命）

所以就算不清楚原理背下结论也很容易写出板子

由于某些原因原理完全可以跳过不看

但还是懂一下比较好

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原理

清真のor&and

令\(FWT(A)=A',A'[i]=\sum_{i|j=i}A[j]\)，\(B\)同理

\(i|j=i\)就表示二进制下\(j\)一定是\(i\)的子集

这样好像可以满足\(C'[i]=A'[i]*B'[i]\)，不懂可以写一写

大概就是\(A'[i]\)已经包含下标或起来\(=i\)的\(A\)，\(B'[i]\)也是

所以\(A'[i],B'[i]\)里包含的每个数下标或起来都等于\(i\)

自然两个和乘起来就是两两配对的总和，即\(C'[i]=A'[i]*B'[i]\)

肯定不能枚举\(i\)的二进制子集因为太沙雕

然后试着把\(A\)拆成前半段\(A_0\)和后半段\(A_1\)

如果知道\(FWT(A_0),FWT(A_1)\)，可以知道\(FWT(A)\)吗

是个学过FFT的人都知道应该可以

设当前多项式\(A\)的长度为\(2^k\)，\(A_0,A_1\)长度为\(2^{k-1}\)

\(FWT(A)\)的前半段表示\(A\)的二进制位第\(k\)位填\(0\)

那么是它子集的好像有\(FWT(A_0)\)

\(FWT(A)\)的前半段表示\(A\)的二进制位第\(k\)位填\(1\)

是它子集的不仅有\(FWT(A_1)\)，还有\(FWT(A_0)\)

大概就是这个亚子其实我也不是很清楚

所以\(FWT(A)\)前半段就是\(FWT(A_0)\)，后半段就是\(FWT(A_0),FWT(A_1)\)加起来

于是就有了结论的\(FWT(A)=merge(FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1))\)

至于\(IFWT\)，就是已知\(A_0',A_1'\)，求\(A_0,A_1\)

由于\(A_0'=A_0,A_1'=A_0+A_1\)，所以\(A_0=A_0',A_1=A_1'-A_0'\)

这样就有了两个简单易懂易背的结论

对于\(and\)也可同理推一波操作，和\(or\)很像，结论、代码也很像

打对\(or\)就可以打对\(and\).jpg

鬼畜のxor

一看\(or\)和\(and\)的结论就很清真，其实是因为\(or\)和\(and\)很像

\(xor\)奇怪就奇怪在运算和\(or,and\)有很大区别

但\(xor\)卷积还是有优化的方法

令\(i\&j\)中\(1\)数量的奇偶性为\(i\)与\(j\)的奇偶性，那么\(i\)与\(k\)的奇偶性异或\(j\)和\(k\)的奇偶性等于\(i⊕j\)和\(k\)的奇偶性

设\(f(x)\)表示\(x\)在二进制下\(1\)的个数

\[A'[i]=\sum_{f(i\&j)mod2=0}A[j]-\sum_{f(i\&j)mod2=1}A[j]
\]

如果这样的话

\[FWT(A)=merge(FWT(A_1)-FWT(A_0),FWT(A_1)+FWT(A_0))
\]

\[IFWT(A)=merge({{IFWT(A_1)-IWFT(A_0)}\over 2},{IFWT(A_1)+IFWT(A_0)\over 2})
\]

对于\(or\)，由于\(or,and\)同理，令

\[A'[i]=\sum_{f(i|j)mod2=0}A[j]-\sum_{f(i|j)mod2=1}A[j]
\]

结果和上面的是一样的

于是由这两种运算的优美性质自然而然的可以得到xor的规律

于是你就知道为什么xor那么鬼畜

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FWT板子

#define mod 998244353
#define inv2 499122177
inline void fwt_or(ll f[],ll len,ll inv)
{
	for (ll i=1;i<len;i<<=1)
		for (ll j=0;j<len;j+=(i<<1))
			for (ll k=0;k<i;++k)
				f[i+j+k]=(inv*f[j+k]+f[i+j+k]+mod)%mod;
}
inline void fwt_and(ll f[],ll len,ll inv)
{
	for (ll i=1;i<len;i<<=1)
		for (ll j=0;j<len;j+=(i<<1))
			for (ll k=0;k<i;++k)
				f[j+k]=(f[j+k]+inv*f[i+j+k]+mod)%mod;
}
inline void fwt_xor(ll f[],ll len,ll inv)
{
	for (ll i=1;i<len;i<<=1)
		for (ll j=0;j<len;j+=(i<<1))
			for (ll k=0;k<i;++k)
			{
				ll x=f[j+k],y=f[i+j+k];
				f[j+k]=(x+y)%mod,f[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
				if (inv==-1)(f[j+k]*=inv2)%=mod,(f[i+j+k]*=inv2)%=mod;
			}
}

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FWT搞完

本人版权意识薄弱……

• 本博客部分知识学习于
• https://blog.csdn.net/qq_37136305/article/details/81606170
• https://www.cnblogs.com/ACMLCZH/p/8022502.html
• https://blog.csdn.net/gmh77/article/details/82320090
• https://blog.csdn.net/zsyz_ZZY/article/details/89881380

别人早就会的东西我现在才学

\(FFT\)都会了一年了我才懂\(FWT\)

原因还是我太蔡了