BZOJ-1822 Frozen Nova 冷冻波 计（jie）算（xi）几何+二分+最大流判定+经典建图

这道逼题！感受到了数学对我的深深恶意(#‵′)。。。。

1822: [JSOI2010]Frozen Nova 冷冻波

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Description

WJJ喜欢“魔兽争霸”这个游戏。在游戏中，巫妖是一种强大的英雄，它的技能Frozen Nova每次可以杀死一个小精灵。我们认为，巫妖和小精灵都可以看成是平面上的点。 当巫妖和小精灵之间的直线距离不超过R，且巫妖看到小精灵的视线没有被树木阻挡（也就是说，巫妖和小精灵的连线与任何树木都没有公共点）的话，巫妖就可以瞬间杀灭一个小精灵。 在森林里有N个巫妖，每个巫妖释放Frozen Nova之后，都需要等待一段时间，才能再次施放。不同的巫妖有不同的等待时间和施法范围，但相同的是，每次施放都可以杀死一个小精灵。 现在巫妖的头目想知道，若从0时刻开始计算，至少需要花费多少时间，可以杀死所有的小精灵？

Input

输入文件第一行包含三个整数N、M、K(N,M,K<=200)，分别代表巫妖的数量、小精灵的数量和树木的数量。 接下来N行，每行包含四个整数x, y, r, t，分别代表了每个巫妖的坐标、攻击范围和施法间隔（单位为秒）。 再接下来M行，每行两个整数x, y，分别代表了每个小精灵的坐标。 再接下来K行，每行三个整数x, y, r，分别代表了每个树木的坐标。 输入数据中所有坐标范围绝对值不超过10000，半径和施法间隔不超过20000。

Output

输出一行，为消灭所有小精灵的最短时间（以秒计算）。如果永远无法消灭所有的小精灵，则输出-1。

Sample Input

2 3 1

-100 0 100 3

100 0 100 5

-100 -10

100 10

110 11

5 5 10

Sample Output

5

HINT

Source

JSOI2010第二轮Contest1

巫（污）妖！

这道题啊，污！

建图：

超级源向所有巫妖建图，边权为time/nova【i】.t+1（二分出来的总时间，除去这个巫妖的施法冷却+1（0s可以释放第一个波））

每个巫妖和它所能打到得小精灵连边，边权为1

所有小精灵与超级汇连边，边权为1（因为每个小精灵只能被杀死1次）

然后二分（left=0，right=maxtime*m冷却最长的巫妖独自杀死所有小精灵的时间一定是最大的）总时间，建图，跑最大流判定即可

下面是计算（此处采用解析几何，因为人傻）几何部分关于判定巫妖是否能打到小精灵的判定：

巫妖有攻击半径r，所以能打到这个小精灵的要求起码，这个巫妖和这个精灵之间的距离要<=这个巫妖的施法半径：

平面间两点距离公式：

满足上述条件后还需要满足不被树挡住才能攻击到（在树中会失去视野。。。这个故事提示我们要带眼）

那么这个时候思考到，我们已知两点的坐标，树的坐标和树的半径

那么只要满足树的这个圆与这两点连成的直线没有交点即可。如果点到线段的最短距离都大于半径那一定不会相交。

于是转化成求点到线段的最短距离。

值得注意的是，这里是点到线段的最短距离，而非直线，所以不能直接套公式，应该理性的分类思考一下：

1.点的投影正好落在线段上，此时最短距离为这个垂线段的长度，求法与点到直线距离一样。

2.点的投影在线段的延长线上，这时最短距离为这个点到线段两端点的长度中较短的那条，由第一个条件公式得到即可。

那么如何判断点的投影是否在线段上呢？

这里采用的是，先用两点距离公式算出树、巫妖、小精灵三个点组成的三角形的三边长度，然后利用海伦公式求出面积S

海伦公式及推导：

然后在用点到直线距离公式求出，树这个点到这个线段所在直线的距离（垂线段）

点到直线的距离公式：

然后用树到两个端点中较大的那个端点为斜边，勾股出这个点在直线上的投影点到那个端点的距离，判断这个距离和线段的长度，如果线段长度长，则这个点在线段上return 点到直线的距离，否则return点到两个端点的距离中较小的那个距离

判断如果不被挡住，则可以攻击到，建图完成上述操作即可

code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define M 1000010
int dis[M];
int q[M],h,t;
struct data{
    int next,to,v;
}edge[M];
int head[M],cnt=1;
struct data1{
    int x,y,r,t;
}nova[300];
struct data2{
    int x,y;
}fairy[300];
struct data3{
    int x,y,r;
}tree[300];
int n,m,k;
int maxt=0;

void add(int u,int v,int w)
{
    cnt++;
    edge[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].v=w;
}

double min(double x,double y)
{
    if (x>y) return y;
        else return x;
}

double max(double x,double y)
{
    if (x>y) return x;
        else return y;
}

double dist(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
        return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}//两点之间的距离 

double Helen(double a,double b,double c)
{
    double q=(a+b+c)/2;
    return sqrt(q*(q-a)*(q-b)*(q-c));
}//海伦公式求面积 

double gg(double x,double y)
{
    return sqrt(x*x-y*y);
}//勾股定理 

double mindis(int x1,int y1,int x2,int y2,int x3,int y3)
{
    double d1=(fabs((y2-y1)*x3+(x1-x2)*y3+(x2*y1)-(x1*y2)))/(sqrt((y2-y1)*(y2-y1)+(x1-x2)*(x1-x2)));
    double d2=dist(x1,y1,x3,y3);
    double d3=dist(x2,y2,x3,y3);
    double s=Helen(d2,d3,dist(x1,y1,x2,y2));
    double x=gg(max(d2,d3),d1);
    if (x>dist(x1,y1,x2,y2))
        return min(d2,d3);
    else
        return d1;
}//点到线段的最短距离（树的圆心 到 巫妖和小精灵组成的线段 的距离）
//(x1,x2)表示巫妖的坐标，(x2,y2)表示小精灵的坐标，(x3,y3)表示树的坐标

void init()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d%d%d%d",&nova[i].x,&nova[i].y,&nova[i].r,&nova[i].t);
            maxt=max(maxt,nova[i].t);
        }
    for (int i=1; i<=m; i++)
        scanf("%d%d",&fairy[i].x,&fairy[i].y);
    for (int i=1; i<=k; i++)
        scanf("%d%d%d",&tree[i].x,&tree[i].y,&tree[i].r);
}

void make(int ans)
{
    //只要一个巫妖和一个小精灵之间的距离小于等于巫妖的施法范围 &&
    //周围的树到这个线段的最短距离大于树的半径  就可以打到
    //超级源点记为0，超级汇记为N+M+1，巫妖的编号从1~N，小精灵从N+1~N+M
    cnt=1;memset(head,0,sizeof(head));
    for (int i=1; i<=n; i++)
        for (int j=1; j<=m; j++)
            if (dist(nova[i].x,nova[i].y,fairy[j].x,fairy[j].y)<=1.0*nova[i].r)
                {
                    bool f=true;
                    for (int l=1; l<=k; l++)
                        if (mindis(nova[i].x,nova[i].y,fairy[j].x,fairy[j].y,tree[l].x,tree[l].y)<=1.0*tree[l].r)
                            {
                                f=false;
                                break;
                            }
                    if (f==false)
                        continue;
                    add(i,n+j,1); add(n+j,i,0);
                }
    for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            add(0,i,ans/nova[i].t+1);
            add(i,0,0);
        }
    for (int j=1; j<=m; j++)
        {
            add(n+j,n+m+1,1);
            add(n+m+1,n+j,0);
        }
}

bool bfs()
{
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    q[1]=0; dis[0]=1;
    h=0;    t=1;
    while (h<t)
        {
            int j=q[++h],i=head[j];
            while (i)
                {
                    if (dis[edge[i].to]<0 && edge[i].v>0)
                        {
                            dis[edge[i].to]=dis[j]+1;
                            q[++t]=edge[i].to;
                        }
                    i=edge[i].next;
                }
        }
    if (dis[n+m+1]>0)
        return true;
    else
        return false;
}

int dfs(int loc,int low)
{
    int flow=0;
    if (loc==n+m+1) return low;
    int i=head[loc];
    while (i)
        {
            if (edge[i].v>0 && dis[edge[i].to]==dis[loc]+1 && (flow=dfs(edge[i].to,min(low,edge[i].v))))
                {
                    edge[i].v-=flow;
                    edge[i^1].v+=flow;
                    return flow;
                }
            i=edge[i].next;
        }
    return 0;
}

int main()
{
    init();
    int ans;
    int answer=-1;
    int left=0,right=maxt*m,mid;
    while (left<=right)
        {
            mid=(left+right)>>1;
            make(mid);
            ans=0;
            while (bfs())
                {
                    int now=0;
                    while ((now=dfs(0,0x7fffffff)))
                        ans+=now;
                }
            if (ans==m)
                {answer=mid; right=mid-1;}
            else
                left=mid+1;
        }
    printf("%d",answer);
    return 0;
}