3D数学读书笔记——矩阵进阶

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最终要学习矩阵的平移了，通过平移能够处理非常多问题，包含非坐标轴基准的变换问题，不同坐标系转换问题。嘿嘿！

行列式（事实上行列式就是一种计算法则）

在随意矩阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式。

方阵M的行列式记作 |M| 或 det M 。非方阵矩阵的行列式是没有定义的。

2 * 2阶矩阵行列式的定义

3 * 3阶矩阵行列式的定义

ps：(1)矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积 |AB| = |A||B|

(2)矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式 

(3)假设矩阵的随意行或列全为零，那么它的行列式等于零。

(4)交换矩阵的随意两行或两列，行列式变负。

(5)随意行或者列的非零积加到还有一行或列上不会改变行列式的值。

矩阵的行列式有着很有趣的几何解释。

2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积。3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积。

行列式和矩阵变换导致相关的尺寸改变。当中行列式的绝对值和面积(2D)、体积(3D)的改变相关。行列式的符号说明了变换矩阵是否包括镜像或投影。

矩阵的行列式还能对矩阵所代表的的变换经行分类。假设矩阵行列式为零，那么该矩阵包括投影。假设矩阵行列式为负，那么该矩阵包括镜像。

矩阵的逆

矩阵的逆是矩阵的一种重要的运算，这样的运算仅仅能适用于方阵。

方阵M的逆，记作,也是一个矩阵，当M与相乘时，结果是单位矩阵。

并不是全部的矩阵都有逆矩阵。假设一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非神秘的。假设一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆的或神秘矩阵。神秘矩阵的行列式为零，非神秘矩阵的行列式不为零，所以检測行列式的值是推断矩阵是否可逆的有效方法。

ps：(1) 假设M是非神秘矩阵，则该矩阵的逆的逆等于原矩阵  

(2) 单位矩阵的逆就是它本身。

(3) 矩阵转置的逆等于它的逆的转置 

矩阵的逆在几何上很实用，由于它使得我们能够计算变换的“反向”或“相反”变换——能“撤销”原始变换的变换，全部假设向量v用矩阵M来进行变换，接着用M的逆进行变换，将会得到原向量。

正交矩阵

当方阵M与它的转置的乘积等于单位矩阵，方阵M就是正交的。

假设一个矩阵是正交的，那么它的转置等于它的逆，我们能够用这个规律来检測矩阵的正交性

ps：这条性质很实用，由于实际应用中常常须要计算矩阵的逆，而3D图形计算中正交矩阵出现得又是如此频繁，这条性质能够大大的降低计算量。

4 x 4齐次矩阵

在4D齐次空间中，4D向量有4个分量，前3个是标准的x，y和z分量，第四个是w，有时称作齐次坐标。

增加了w分量，我们就能够利用这个分量来进行3D平移了。

4D向量中的w分量还起到了“开关”4x4矩阵平移部分的作用。

这个现象是很实用的，由于有些向量代表“位置”，应当平移，而有些向量代表“方向”不应该平移。从几何意义上讲，能将第一类数据当作点，第二类数据当作向量。

-End-

參考文献：（1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》

（2）百度百科