Online Bayesian Probit Regression介绍之Factor Graph

下面就开始讲讲概率图中的Factor Graph。概率图博大精深，非我等鼠辈能够完全掌握，我只是通过研究一些通用的模型，对概率图了解了一点皮毛。其实我只是从概率这头神兽身上盲人摸象地抓掉几根毛，我打算就讲讲我抓掉这几根毛。

Factor Graph 是概率图的一种，概率图有很多种，最常见的就是Bayesian Network (贝叶斯网络)和Markov Random Fields(马尔可夫随机场)。在概率图中，求某个变量的边缘分布是常见的问题。这问题有很多求解方法，其中之一就是可以把Bayesian Network和Markov Random Fields 转换成Facor Graph，然后用sum-product算法求解。

Bayesian Network，Bayesian Network比较容易理解，主要是描述随机变量之间的条件依赖，用圈表示随机变量(random variables)，用箭头表示条件依赖(conditional dependencies)

Bayesian Network的联合概率分布可以用贝叶斯链式法则来表示

例如：

p(A,B)=p(A)p(B|A)

p(A,B,C)=p(A)p(B|A)p(C|A,B)

Markov Random Fields是无向的概率图，和Bayesian Network一样，用圈表示变量，但是边于是无向的，只是表示变量之间有关系，不一定是条件概率的关系。但是也可以表示变量之间的条件独立性，但是没有有向图那么直观。

对于Markov Random Fields只是看到一些介绍，没又真正试过，所以不敢多说。

下面重点介绍Factor Graph和sum-product的算法

Factor Graph 是个二部图，有两类节点(圆代表variable，方块代表function)和无向边构成

例如上图的Factor Graph可以写成如下的联合概率分布：

其中fA,fB,fC,fD,fE为各函数，表示变量之间的关系，可以是条件概率也也可以是其他关系(如Markov Random Fields中的势函数)。

基于Factor Graph可以用sum-product算法可以高效的求各个变量的边缘分布。

sum-product算法，也叫belief propagation，有两种消息，一种是变量(Variable)到函数(Function)的消息(就是方块到圆的消息)：mx→f，另外一种是函数(Function)到变量(Variable)的消息：mf→x

Factor Graph如果是树形的，也就是无环的，一定会存在叶子节点，一般从以下两种情况开始：

这时变量到函数的消息为： mx→f=1

这时变量到函数的消息为：mf→x=f(x)

如果Factor Graph是无环的，从以上两种叶子节点一定可以准确的求出任意一个变量的边缘分布，但是如果是有环的，是无法用sum-product算法准确求出来边缘分布的，但是我们也可以用sum-product算法来求，一般是选择环中的某个消息，随机赋个初值，然后用sum-product算法，迭代下去，因为有环，一定会到达刚才赋初值的那个消息，然后更新那个消息，继续迭代，这样下去，直到没有消息再改变为止，这种算法叫loopy belief propagation。LBF不能保证收敛，但是很多情况下它是收敛的。

举个例子，如下图，我们要求p(x3)

这不是偶然现象

Factor Graph和sum-product基本概率就到这里，估计没有学过和用过概率图的，到这步已经是云里雾里了，但是没有关系，我觉得一切理论，只用把它运用到实际中，才能算真正懂得。

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