随机服务系统模拟—R实现（三）

M/M/c随机服务系统的模拟

M/M/1服务系统：（1）队列长度没有限制；（2）顾客到达的时间间隔和服务时间均服从指数分布；（3）服务台数量为c。

一、M/M/c随机服务系统的模拟

在M/M/c排队系统中，服务台为c个。设系统的到达率为λ，每个用户的服务率为μ。当系统的用户数n>c时，用户离开的速率为cμ,（因为只有c个服务员），当n≤c时，用户离开速率为nμ（因为顾客数小于服务员数）。此时的系统状态（既系统中的用户数）转移图如下图所示。

1. 系统的理论绩效指标

模型参数符号说明

参数	平均到达率	平均服务率	系统服务强度	系统空闲概率	系统平均顾客数	队列平均人数	平均逗留时间	平均等待时间
符号	\(\lambda\)	\(\mu\)	\(\frac {\lambda}{c\times\mu}\)	\(P_0\)	\(L_s\)	\(L_q\)	\(W_s\)	\(W_q\)

R计算程序

Lambda <-9
Mue <-4
c=3
Rho <- Lambda / Mue
P0inv <- Rho^c /(factorial(c)*(1-(Rho/c)))
for (i in 0:(c-1)) {
  P0inv = P0inv +(Rho^i)/ factorial(i)
}
P0 =1/P0inv
Lq=P0*(Rho^c*Rho/c)/(factorial(c)*(1-(Rho/c))^2)
Wq =Lq/Lambda
Ls <- Lq+Rho
Ws <- Ls/Lambda

R计算结果

参数	平均到达率	平均服务率	系统服务强度	系统空闲概率	系统平均顾客数	队列平均人数	平均逗留时间	平均等待时间
符号	\(\lambda\)	\(\mu\)	\(\frac {\lambda}{c\times\mu}\)	\(P_0\)	\(L_s\)	\(L_q\)	\(W_s\)	\(W_q\)
理论值	9	4	0.75	0.0748	3.9533	1.7033	0.4393	0.1893

2. 系统的R模拟仿真

R模型构建

library(dplyr)
library(simmer)
library(simmer.plot)

T0=10
T1=10000
lambda=9
mu=4
c=3
set.seed(1234)

  ## 建立模拟环境
  bank <- simmer("bank")

  ## 用trajectory()建立顾客，并指定顾客的一系列活动
  ## seize()获取柜台服务资源，如果正在忙，就进入排队
  ## 服务时间用timeout指定，为了生成多个随机服务时间，
  ## timeout的参数是返回随机服务时间的而函数而不是时间值本身
  customer <-
    trajectory("顾客") %>%
    seize("柜台") %>%
    timeout( function() rexp(1, mu)) %>%
    release("柜台")

  ## 用add_resource生成柜台资源
  ## 用add_generator()生成顾客到来列
  bank %>%
    add_resource("柜台",capacity=c) %>%
    add_generator("顾客", customer, function() {rexp(1, lambda)} )

  ## 用run()执行模拟到指定结束时刻
  bank %>%
    run(until=T1)

R计算程序

## 用get_mon_arrivals()获取各个顾客到来的时间、离开时间、活动时间等，结果是数据框
  ## 用dplyr::mutate()对数据框增加新变量
  resd <- bank %>%
    get_mon_arrivals() %>%
    dplyr::mutate(waiting_time = end_time - start_time - activity_time,
                  stay_time = end_time - start_time)

  stay_times <- resd %>%
    dplyr::filter(start_time >= T0, end_time < T1) %>%
    dplyr::select(stay_time)

  ER <- mean(stay_times[[1]])
  ER.true <- 0.4393

  cat('模拟的平均逗留时间ER=', ER,
      ' 期望值=', ER.true, '\n')

R计算结果

  cat('模拟的平均逗留时间ER=', ER,' 期望值=', ER.true, '\n')
  模拟的平均逗留时间ER= 0.4537      期望值= 0.4393

3. R模拟可视化

mon1=get_mon_arrivals(bank)
head(mon1,6)
 name start_time  end_time activity_time finished replication
1 顾客0  0.2779732 0.2796187   0.001645489     TRUE           1
2 顾客1  0.3053908 0.4021865   0.096795646     TRUE           1
3 顾客2  0.4990293 0.7050497   0.206020379     TRUE           1
4 顾客3  0.5090237 0.7185338   0.209510080     TRUE           1
5 顾客4  0.5315368 1.0015560   0.470019170     TRUE           1
6 顾客5  0.6160291 1.1197153   0.414665596     TRUE           1

 mon = get_mon_resources(bank)
 aggregate(cbind(server, queue) ~ resource, mon, mean)
 library(ggplot2)
    ggplot(mon, aes(x=server, fill=resource)) +
       geom_histogram(binwidth = 0.5) +
        facet_grid(.~resource, scales = 'free')

二、模拟仿真总结

随机服务系统在我们日常生活、工业生产、科学技术、军事领域中是经常遇到的随机模型，涉及到泊松过程与指数分布在排队模型中的应用，文中详细地从理论上计算了马尔可夫过程的M/M/c模型绩效指标，又通过随机模拟给出了这个系统绩效指标且作了对比，读者可以大致掌握排队论的应用范围与方法。对于如非指数分布，混线，排队网络，队列数量限制等，不再赘述，感兴趣地读者可以翻阅相关参考资料。

参考文献

1.(Simmer 2019带你飞 )[https://www.sohu.com/a/344940911_100040805]

2.(Simmer仿真平台高级使用技巧)[https://segmentfault.com/a/1190000019820794]