【2020.11.30提高组模拟】剪辣椒(chilli) 题解

【2020.11.30提高组模拟】剪辣椒(chilli) 题解

题意简述

给你一棵树，删去两条边，使得形成的三棵新树的大小极差最小化。求最小极差.

\(3\le n\le 200,000\).

Solution

假设根为\(1\).

设删去的点意为这个点到其父亲的连边被删了，关系指一个点是另一个点的祖先，\(size_x\)为以\(x\)为根的子树大小，\(a,b,c\)是三棵新子树的大小。

答案即为

\[ans=max(a,b,c)-min(a,b,c)
\]

那么只会有两种情况：

被删去的点有关系

不妨设\(x\)是\(y\)的祖先

\[a=size_y,b=size_x-size_y,c=n-size_x
\]

被删去的点无关系

\[a=size_x,b=size_y,c=n-size_x-size_y
\]

显然这里就有一种比较暴力的方法了，时间复杂度\(O(n^2)\)。

考虑优化。

optimization

在\(dfs\)中，我们维护两个\(set:A,B\)

当进入点\(x\)时，把\(size_x\)放入\(A\)中；

当走出点\(x\)时，把\(size_x\)从\(A\)中删除并放入\(B\)中；

这样\(A\)里的元素就是\(x\)的直接祖先，\(B\)中是与\(x\)无关系的点（不需要考虑到还没有访问到的点，因为反过来会遍历到的）

接下来每到一个点\(x\)，我们继续考虑两种情况：

被删去的点有关系

假如我们要删去点\(x\)，另一个被删去的点为y应使得\(n-size_y\)和\(size_y-size_x\)这两个子树的大小最平均，即\(n-size_y=size_y-size_x\Rightarrow 2size_y=n+size_x\)。

我承认我图很丑，我谢罪……

那么我们就去\(A\)中找一个值接近上面\(size_y\)的值并更新答案。

当然，不一定会有正好相等的，应该用lower_bound()后在让指针iter--，进行两次判断。

被删去的点无关系

同理假如我们要删去点\(x\)和与它无关系的点\(y\)，就要使得\(size_y\)和\(n-size_x-size_y\)这两个值最相近，即\(size_y=n-size_x-size_y\Rightarrow 2size_y=n-size_x\)。

我承认我图很丑，我再次谢罪……

那么我们就去\(B\)中找一个值接近上面\(size_y\)的值并更新答案。

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#define IL inline
#define re register
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#ifdef TH
#define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);
#else
#define debug
#endif
using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x)
{
	char ch=getchar();
	int fu;
	while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();
	x=ch-'0';ch=getchar();
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	x*=fu;
}
inline int read()
{
	int x=0,fu=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();
	x=ch-'0';ch=getchar();
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*fu;
}
int G[55];
template<class T>inline void write(T x)
{
	int g=0;
	if(x<0) x=-x,putchar('-');
	do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);
	for(int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('\n');
}
int n;
int ans=100000000;
set<int>A,B;
int sze[200010];
int head[400010],ver[400010],nxt[400010];
int cnt;
void insert(int x,int y)
{
	nxt[++cnt]=head[x];
	ver[cnt]=y;
	head[x]=cnt;

	nxt[++cnt]=head[y];
	ver[cnt]=x;
	head[y]=cnt;
}
void dfs1(int x,int fa)
{
	sze[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		if(ver[i]!=fa)
		{
			dfs1(ver[i],x);
			sze[x]+=sze[ver[i]];
		}
	}
}
IL void upd(int x,int y,int z)
{
	ans=min(ans,max({x,y,z})-min({x,y,z}));
}
void dfs2(int x,int fa)
{
//	cout<<sze[x]<<endl;
	A.insert(sze[x]);
	set<int>::iterator iter;
	iter=A.upper_bound((sze[x]+n)/2);
	if(iter!=A.end())
	{
		upd(sze[x],*iter-sze[x],n-*iter);
	}
	if(iter!=A.begin())
	{
		iter--;
		upd(sze[x],*iter-sze[x],n-*iter);
	}
	iter=B.upper_bound((n-sze[x])/2);
	if(iter!=B.end())
	{
		upd(sze[x],*iter,n-sze[x]-*iter);
	}
	if(iter!=B.begin())
	{
		iter--;
		upd(sze[x],*iter,n-sze[x]-*iter);
	}
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		if(ver[i]!=fa)
		{
			dfs2(ver[i],x);
		}
	}
	A.erase(sze[x]);
	B.insert(sze[x]);
}
int main()
{
//	freopen("chilli.in","r",stdin);
//	freopen("chilli.out","w",stdout);
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i++) insert(read(),read());
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,0);
	cout<<ans;
	return 0;
}

End

一次性写完代码运行一下，没仔细看就以为自己WA了就来写Solution。写完Solution准备来Debug，写完的Debug语句再运行发现代码是对的！Woc泪目！

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绝了，\(std\)是老外写的吧，全是c++11，auto啥的

所以我也用了初始化列表+max(lists)

嘿嘿，还挺方便的呢

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我在跑操的时候突然发现，这道题有些平衡树的思想。（而不是把\(set\)当成离散化bool数组来用）

不断的插入值，删除值，求前驱后继……不就是平衡树嘛？

看来我需要加强模型转化能力。