【2020.11.30提高组模拟】剪辣椒(chilli) 题解

题意简述

给你一棵树，删去两条边，使得形成的三棵新树的大小极差最小化。求最小极差.

$3\le n\le 200,000$.

Solution

假设根为$1$.

设删去的点意为这个点到其父亲的连边被删了，关系指一个点是另一个点的祖先，$size_x$为以$x$为根的子树大小，$a,b,c$是三棵新子树的大小。

答案即为

\[ans=max(a,b,c)-min(a,b,c)
\]

那么只会有两种情况：

被删去的点有关系

不妨设$x$是$y$的祖先

\[a=size_y,b=size_x-size_y,c=n-size_x
\]

被删去的点无关系

\[a=size_x,b=size_y,c=n-size_x-size_y
\]

显然这里就有一种比较暴力的方法了，时间复杂度$O(n^2)$。

考虑优化。

optimization

在$dfs$中，我们维护两个$set:A,B$

当进入点$x$时，把$size_x$放入$A$中；

当走出点$x$时，把$size_x$从$A$中删除并放入$B$中；

这样$A$里的元素就是$x$的直接祖先，$B$中是与$x$无关系的点（不需要考虑到还没有访问到的点，因为反过来会遍历到的）

接下来每到一个点$x$，我们继续考虑两种情况：

被删去的点有关系

假如我们要删去点$x$，另一个被删去的点为y应使得$n-size_y$和$size_y-size_x$这两个子树的大小最平均，即$n-size_y=size_y-size_x\Rightarrow 2size_y=n+size_x$。

我承认我图很丑，我谢罪……

那么我们就去$A$中找一个值接近上面$size_y$的值并更新答案。

当然，不一定会有正好相等的，应该用lower_bound()后在让指针iter--，进行两次判断。

被删去的点无关系

同理假如我们要删去点$x$和与它无关系的点$y$，就要使得$size_y$和$n-size_x-size_y$这两个值最相近，即$size_y=n-size_x-size_y\Rightarrow 2size_y=n-size_x$。

我承认我图很丑，我再次谢罪……

那么我们就去$B$中找一个值接近上面$size_y$的值并更新答案。

Code

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<map>

#include<set>

#include<queue>

#include<vector>

#define IL inline

#define re register

#define LL long long

#define ULL unsigned long long

#ifdef TH

#define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);

#else

#define debug

#endif

using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x)

{

	char ch=getchar();

	int fu;

	while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

	if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

	x=ch-'0';ch=getchar();

	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

	x*=fu;

}

inline int read()

{

	int x=0,fu=1;

	char ch=getchar();

	while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

	if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

	x=ch-'0';ch=getchar();

	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

	return x*fu;

}

int G[55];

template<class T>inline void write(T x)

{

	int g=0;

	if(x<0) x=-x,putchar('-');

	do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);

	for(int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('\n');

}

int n;

int ans=100000000;

set<int>A,B;

int sze[200010];

int head[400010],ver[400010],nxt[400010];

int cnt;

void insert(int x,int y)

{

	nxt[++cnt]=head[x];

	ver[cnt]=y;

	head[x]=cnt;

	nxt[++cnt]=head[y];

	ver[cnt]=x;

	head[y]=cnt;

}

void dfs1(int x,int fa)

{

	sze[x]=1;

	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])

	{

		if(ver[i]!=fa)

		{

			dfs1(ver[i],x);

			sze[x]+=sze[ver[i]];

		}

	}

}

IL void upd(int x,int y,int z)

{

	ans=min(ans,max({x,y,z})-min({x,y,z}));

}

void dfs2(int x,int fa)

{

//	cout<<sze[x]<<endl;

	A.insert(sze[x]);

	set<int>::iterator iter;

	iter=A.upper_bound((sze[x]+n)/2);

	if(iter!=A.end())

	{

		upd(sze[x],*iter-sze[x],n-*iter);

	}

	if(iter!=A.begin())

	{

		iter--;

		upd(sze[x],*iter-sze[x],n-*iter);

	}

	iter=B.upper_bound((n-sze[x])/2);

	if(iter!=B.end())

	{

		upd(sze[x],*iter,n-sze[x]-*iter);

	}

	if(iter!=B.begin())

	{

		iter--;

		upd(sze[x],*iter,n-sze[x]-*iter);

	}

	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])

	{

		if(ver[i]!=fa)

		{

			dfs2(ver[i],x);

		}

	}

	A.erase(sze[x]);

	B.insert(sze[x]);

}

int main()

{

//	freopen("chilli.in","r",stdin);

//	freopen("chilli.out","w",stdout);

	n=read();

	for(int i=1;i<n;i++) insert(read(),read());

	dfs1(1,0);

	dfs2(1,0);

	cout<<ans;

	return 0;

}

End

一次性写完代码运行一下，没仔细看就以为自己WA了就来写Solution。写完Solution准备来Debug，写完的Debug语句再运行发现代码是对的！Woc泪目！

绝了，$std$是老外写的吧，全是c++11，auto啥的

所以我也用了初始化列表+max(lists)

嘿嘿，还挺方便的呢

我在跑操的时候突然发现，这道题有些平衡树的思想。（而不是把$set$当成离散化bool数组来用）

不断的插入值，删除值，求前驱后继……不就是平衡树嘛？

看来我需要加强模型转化能力。