【2020.11.19提高组模拟】二次剩余two 题解

题目描述

有\(n\)个二次函数，每个二次函数可以用两个值\(m,k\)描述：

\[f(x)=(x-m)^2+k
\]

现在有\(q\)次操作:

1.插入一个二次函数\((m,k)\)

2.\((x,t)\)删除所有\(f(x)\le t\)的二次函数。

输出每次操作后还剩下的二次函数个数。

对于所有的数据，保证\(n,q,m,k,x,t\in [1,1e5]\)

以下是数据范围表格节选。

	\(n,q\le\)	\(m\le\)
1~4	20000	100000
5~6	100000	1000
7~10	100000	100000

Solution

考场上我先想到了对\(n^2\)的暴力进行卡常优化——结果就过了qaq老师不要重测卡我啊！

虽然这不是正解，但是我还是记录一下吧。

用了两个栈，先把开始的二次函数存到栈1。

对于操作1，直接入栈1。

对于操作2，扫描栈1内所有的二次函数，若无需删去就加入栈2，否则不加；再将栈2复制到栈1。

可以利用类似滚动数组的方法在两个栈之间回滚，省去复制操作；不要暴力清空栈，只要把size赋值为0就好。这样每次进行操作2需要遍历的次数仅仅为当前二次函数的个数。

Code-\(O(n^2)\)

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<map>

#include<set>

#include<queue>

#include<vector>

#define IL inline

#define re register

#define LL long long

#define ULL unsigned long long

#define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);

using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x)

{

    char ch=getchar();

    int fu;

    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

    x=ch-'0';ch=getchar();

    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    x*=fu;

}

inline int read()

{

	int x=0,fu=1;

    char ch=getchar();

    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

    x=ch-'0';ch=getchar();

    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    return x*fu;

}

int G[55];

template<class T>inline void write(T x)

{

    int g=0;

    if(x<0) x=-x,putchar('-');

    do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);

    for(re int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('\n');

}

int n,q;

struct two

{

	LL m,k;

}sk[2][1000010];

int size[2];

int main()

{

	freopen("two.in","r",stdin);

	freopen("two.out","w",stdout);

	n=read();

	q=read();

	for(re int i=1;i<=n;i++) sk[0][i].m=read(),sk[0][i].k=read();

	size[0]=n;

	int op,x,t;

	bool flag=0;

	while(q--)

	{

		op=read();

		if(op==1)

		{

			sk[flag][++size[flag]].m=read();

			sk[flag][size[flag]].k=read();

			write(size[flag]);

		}

		else

		{

			x=read();

			t=read();

			for(re int i=1;i<=size[flag];i++)

			{

				if((x-sk[flag][i].m)*(x-sk[flag][i].m)+sk[flag][i].k>t) sk[!flag][++size[!flag]]=sk[flag][i];

			}

			size[flag]=0;

			flag=!flag;

			write(size[flag]);

		}

	}

	return 0;

}

记得开\(\texttt{long long}\)。

Std

因为\(k\in \mathbb N^+\)，所以先不考虑k。

\[f(x)=(x-m)^2\le t\\
\Rightarrow -\sqrt t \le x-m\le \sqrt t\\
\Rightarrow x-\sqrt t\le m\le x+\sqrt t
\]

所以，可能会被删去的二次函数的\(m\)只可能在\(x\pm\sqrt t\)中。

而对于相同的\(m\)，k小的应该越会被删去。

所以我们对每种m都用一个小根堆，扫描时只要扫\(x-\sqrt t\le m\le x+\sqrt t\)区间中的堆，然后尽量取出合法的二次函数即可。

时间复杂度：\(O((n+q)\log n+q\sqrt t)\)。

Code

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<map>

#include<set>

#include<queue>

#include<vector>

#define IL inline

#define re register

#define LL long long

#define ULL unsigned long long

#define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);

using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x)

{

    char ch=getchar();

    int fu;

    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

    x=ch-'0';ch=getchar();

    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    x*=fu;

}

inline int read()

{

	int x=0,fu=1;

    char ch=getchar();

    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

    x=ch-'0';ch=getchar();

    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    return x*fu;

}

int G[55];

template<class T>inline void write(T x)

{

    int g=0;

    if(x<0) x=-x,putchar('-');

    do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);

    for(int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('\n');

}

LL n,q,ans;

priority_queue<int>a[100010];

int main()

{

//	freopen("two.in","r",stdin);

//	freopen("two.out","w",stdout);

	n=read();

	q=read();

	for(re int i=1,m,k;i<=n;i++) m=read(),k=read(),a[m].push(-k);

	ans=n;

	int op,x,y,l,r;

	while(q--)

	{

		op=read();

		if(op==1)

		{

			x=read();

			y=read();

			a[x].push(-y);

			ans++;

		}

		else

		{

			x=read();

			y=read();

			l=x-sqrt(y);

			r=x+sqrt(y);

			for(re int i=max(l,1);i<=r&&i<=100000;i++)

			{

				while(!a[i].empty())

				{

					if((x-i)*(LL)(x-i)-a[i].top()>y) break;

					a[i].pop();

					ans--;

				}

			}

		}

		write(ans);

	}

	return 0;

}

Attention

不要抱有侥幸心理。这次能过，下次还是会\(40pts\)乃至\(20pts\)的。