CF2112D Reachability and Tree

CF2112D Reachability and Tree

题意

设 \(u\) 和 \(v\) 是有向图中的两个不同顶点。如果存在一条从顶点 \(u\) 到顶点 \(v\) 的路径，我们称有序对 \((u, v)\) 是好的。

给一棵树定向，使得好点对数量刚好为 \(n\)。如果可能，输出任意一种满足条件的边定向方案。

题解

注意到不管如何定向一条边总会产生 \(1\) 的贡献，那么答案至少为 \(n-1\)。

如图，我们只需要沿着 \(\text{DFS}\) 给边一正一反的定向就可以产生 \(n-1\) 的贡献。

现在要做的是如何多产生 \(1\) 的贡献，注意到如果一个点的度数为 \(2\) 时，改变其子树上所有边的方向，就可以刚好增加 \(1\) 的贡献。

如图，只要把以顶点 \(4\) 为根节点的子树上的边的方向全部取反即可。

具体的，先找出一个入度为 \(2\) 的点，标记一下，当遍历到该点时将当前方向取反，再正常 \(\text{DFS}\) 即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,id;
vector<int> e[N];
vector<pair<int,int>> ans;
void dfs(int u,int fa,bool op){
    if(u==id) op^=1;
    for(int v:e[u]){
        if(v==fa) continue;
        if(op) ans.emplace_back(u,v);
        else ans.emplace_back(v,u);
        dfs(v,u,op^1);
    }
}
void solve(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) e[i].clear();
    ans.clear();
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        e[u].emplace_back(v);
        e[v].emplace_back(u);
    }
    bool flag=false;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(e[i].size()==2){
            flag=true;
            id=i; //标记入度为 2 的点。
            break;
        }
    if(!flag) return cout<<"NO\n",void();
    if(id==1) dfs(2,2,1);//注意不能从标记的点开始 DFS ，否则方向取反就没用了。
    else dfs(1,1,1);
    cout<<"YES\n";
    for(auto it:ans) cout<<it.first<<" "<<it.second<<"\n";
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
    int T; cin>>T;
    while(T--) solve();
	return 0;
}