Solution Set - IQ ↓↓

• Q: 为什么说雨兔是个傻子？
• A: 因为一路上全是星号标记.

  呃, 本来的好像是 constructive || greedy, 但感觉最近整体题量不高, 就换成 2700-2900 了. 然后惊讶地发现这个区间好多 constructive, 麻了.

0. 「CF 1672H」Zigu Zagu *

  Link & Submission & Tag:「C.性质/结论」

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  一个被忽略的方法——寻找操作前后变化形式优美的特征值.

  假设对序列 \(S\) 操作, 设其中 \(00\) 子段的数量为 \(x\), \(11\) 子段的数量为 \(y\), 先后注意到

• 每次被删除的序列是极长的 \(01\) 序列.

• 删除偶数长度序列, \(x\leftarrow x-1,y\leftarrow y-1\).

• 删除奇数长度序列, \(x\leftarrow x-1\) 或者 \(y\leftarrow y-1\).

• 当 \(xy>0\), 存在可删除的极长偶数长度序列.

  故答案为 \(\max\{x,y\}+1\). \(\mathcal O(n)-\mathcal O(1)\) 即可实现算法.

1. 「CF 1672F2」Checker for Array Shuffling *

  Link & Submission & Tag:「C.性质/结论」

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  显然在所有能使 \(b\) 变为 \(a\) 的置换 \(\sigma\) 中, 操作次数最小者为轮换数量最大者. 为了让这一次数变大, 我们就需要让 \(\sigma\) 的环尽量多. 不难证明, 令每个环中恰好包含一个出现次数最多的元素, 可以取到这一最大值, 即元素的最多出现次数.

  注意到 F1 叫做 Array Shuffling, 我们已经会做了. 对于 F2, 我们只需要检查构造是否满足上述条件. 删除出现最多的元素, 拓扑检查置换是否有环即可. 复杂度 \(\mathcal O(n)\).

2. 「CF 1661F」Teleporters *

  Link & Submission & Tags:「A.二分-二分答案」「B.Tricks」

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  Learn to use binary search.

  问题具有多样的单调性, 二分什么呢？注意到对于每个 gap, 代价减少量与随投入量增加而减少, 因而可以想到二分最小可接受收益 \(x\), 即, 只要投入一个断点, 代价减少量不小于 \(x\), 就投入. 我们能求到此时 \(x\) 所对应的代价 \(f(x)\), 而 \(f(x)\) 是单调的, 我们能找到最大的使得 \(f(x)>m\) 的 \(x\). 接下来, 直到代价 \(\le m\), 我们每次投入的减少量必然为 \(x+1\). 简单计算即可. 复杂度 \(\mathcal O(n\log^2m)\).

3. 「CF 1658F」Juju and Binary String *

  Link & Submission & Tag:「C.性质/结论」

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  可以轻松判无解或者求出答案子串中字符 \(\texttt 1\) 的出现次数 \(x\).

  然后获得神谕：答案不超过 \(2\). 考虑将字符排列成环, 利用子串与整个串 \(\texttt 1\) 的占比相同的条件, 可证环上必然存在长度为 \(m\) 的区间, 其 \(\texttt 1\) 的数量不多于 \(x\), 亦必然存在区间, 其 \(\texttt 1\) 的数量不小于 \(x\), 那么一定能调整得到数量恰为 \(x\) 的区间.

  利用神谕当然能做到 \(\mathcal O(n)\).

4.「CF 1656F」Parametric MST

  Link & Submission & Tags:「B.贪心」「C.性质/结论」

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  由于不可抗力断断续续不知道想了多久, 不过好歹做出来了, 泪目.

  先判非法：设 \(d_u\) 表示结点 \(u\) 的度数, 则当 \(\sum a_ud_u\) 恒小于或恒大于 \(0\) 时非法, 排序之后分别以 \(a_1\) 和 \(a_n\) 建菊花图就能判断两种情况.

  再来看贡献计算, 先将形式单一化, \(f(t)=-(n-1)t^2+\min_E\left\{\sum_{(u,v)\in E}(a_u+t)(a_v+t)\right\}\). 显然为了在 \(t\) 一定时将其最小化, 一定是 \(1\) 连向所有正权边, \(n\) 连向所有负权边. 不难证明一定可以取某个 \(t=-a_i\). 直接算就行. 复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\), 瓶颈为排序.

5. 「CF 1698G」Long Binary String

  Link & Submission & Tags: 「A.构造」「B.复杂度平衡」

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  4. 和 5. 之间间隔了不可忽视的时间. 烦请忽视.

  忽略前导零, \(s\) 在 \(\mathbb F_2[x]\) 上对应一个常数项为 \(1\) 的多项式 \(S(x)\). 我们的目标是找到任意多项式 \(R(x)\in \mathbb F_2[x]\), 使得 \(S(x)R(x)=x^k+1\), 并最小化这个 \(k\).

  当然, \(R(x)\) 是任意的, 所以更合理的写法是找到最小的 \(k\), 使得

\[x^k\equiv S(x)-1\pmod{S(x)}.
\]

注意 \(\mathbb F_2[x]\) 下模 \(S(x)\) 的剩余系大小不超过 \(2^{\deg S(x)}\), 所以可以类似 BSGS 来平衡复杂度. 令 \(B=\frac{\deg S(x)}{2}\), 设 \(k=tB-r\), 预处理 \(x^r\bmod S(x)\) 的值, 枚举 \(t\) 求答案即可. 至少可以 \(\mathcal O(|S|2^B)\) 叭.

6. 「CF 1698F」Equal Reversal *

  Link & Submission & Tags:「A.构造」「C.性质/结论」

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  先想想必要条件叭. 可以想到有解则需要满足:

• \(a_1=b_1,a_n=b_n\).
• 可重集族 \(\{\{a_i,a_{i+1}\}\}_{i=1}^{n-1}=\{\{b_i,b_{i+1}\}\}_{i=1}^{n-1}\) (你妈的, 没注意到).

  一般来说充要条件可以直接指向构造方法, 我们来试一试. 设 \(a_{1..i}\) 已经匹配 \(b_{1..i}\), 设 \(a_i=b_i=x\), \(a_{i+1}=u\), \(b_{i+1}=v\), 讨论:

• \(a=[\cdots,x,u,\cdots,v,x,\cdots]\), 直接 reverse \([x,u,\cdots,v,x]\) 段即可.
• \(a=[\cdots,x,u,\cdots,x,v,\cdots]\), 尝试交换后面的 \(x,v\) 规约到前面一种情况.
  • 如果 \([x,u,\cdots,v,x]\) 的可重集族与 \([x,u,\cdots,x,v]\) 的可重集族相同, 那 \(a\) 必然形如 \([\cdots,x,u,\cdots,v,\cdots,x,v,\cdots]\), 哈, 这个简单.
  • 否则, 必然存在一对数跨过 \([x,v]\), 操作这对数.
  • (当然, 这两个讨论可以合并.)

  结束了, 暴力实现 \(\mathcal O(n^3)\).

7. 「CF 1697F」Too Many Constraints *

  Link & Submission & Tag:「A.图论-2_SAT」「B.Tricks」

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  我没想到的不是 trick, 我没想到的居然是 2-SAT

  令真值变量 \(x_{i,j}=[a_i\le j]\), 建立 2-SAT 解出来即可, 复杂度 \(\mathcal O(nk)\). 注意 \(\le\) 减少了变量约束数量的规模, 应该是推广性比较强的 trick.