【LeetCode 148】算法进阶：排序链表 （ 归并排序、快速排序、计数排序 ）

题目：给你链表的头结点 head ，请将其按 升序 排列并返回 排序后的链表 。

提示：

• 链表中节点的数目在范围 [0, 5 * 104] 内
• -105 <= Node.val <= 105

进阶：你可以在 O (n log n) 时间复杂度和常数级空间复杂度下，对链表进行排序吗？

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要对链表进行排序，可以采用归并排序算法，这是因为归并排序特别适用于链表排序，因为它不需要额外的空间来存储数组索引，而且它的分治策略可以很好地应用于链表的分割和合并。除了归并排序，还有其他几种方法可以用来对链表进行排序。比如快速排序和计数排序。

快速排序是一种分治算法，它通过选择一个“基准”元素并将链表分为两个子链表（一个包含小于基准的元素，另一个包含大于基准的元素）来工作。然后递归地对这两个子链表进行快速排序。

计数排序是一种非比较排序算法，适用于元素范围有限的情况。对于链表排序，我们可以先遍历链表，使用一个数组（或哈希表）来统计每个值出现的次数，然后根据这些计数来重建链表。

在选择排序方法时，需要考虑链表的特点（如是否允许修改原链表、元素值的范围等）以及算法的性能（如时间复杂度和空间复杂度）。

下面分别介绍 归并排序、快速排序、计数排序 这三种方法的算法步骤和 Java 代码实现 及各自优缺点。

一、归并排序

算法步骤：

1. 找到中点：首先找到链表的中点，将链表分成两半。

2. 递归排序：递归地对前半部分和后半部分进行排序。

3. 合并两个有序链表：将两个已排序的链表合并成一个有序链表。

复杂度分析：

• 时间复杂度：O (n log n)，其中 n 是链表的长度。这是因为归并排序的时间复杂度为 O(n log n)。

• 空间复杂度：O (1)，只使用了常数级别的额外空间。

归并排序的 Java 代码：

class Solution {
    public ListNode sortList(ListNode head) {
        if(head==null || head.next==null){
            return head;
        }
        // 步骤1: 找到中点并分割链表
        ListNode mid = getMid(head);   // 找到中点
        ListNode midNext = mid.next;   // 记录后半段链表的头结点
        mid.next = null;               // 从中点断开链表
        // 步骤2: 递归排序
        ListNode left = sortList(head);
        ListNode right = sortList(midNext);
        // 步骤2: 递归排序
        return merge(left,right);
    }

    // 方法：找到链表中点
    private ListNode getMid(ListNode head){
        if(head==null || head.next==null){
            return head;
        }
        // 慢指针走一步，快指针走两步
        ListNode slow = head;
        ListNode fast = head;
        while(fast.next != null && fast.next.next != null){ //单数和双数两种情况
            slow = slow.next;
            fast = fast.next.next;
        }
            return slow; // 慢指针就是中点
    }

    // 方法：合并两个有序链表
    private ListNode merge(ListNode l1, ListNode l2){
        ListNode dummyHead = new ListNode(0);
        ListNode cur = dummyHead;
        //遍历两个链表直到其中一个结束
        while(l1 != null && l2 != null){
            if(l1.val < l2.val){  //每次比较结点大小
                cur.next = l1;
                l1 = l1.next;
            }else{
                cur.next = l2;
                l2 = l2.next;
            }
            cur = cur.next;
        }
        //连接剩下的部分链表
        cur.next = (l1 != null)? l1 : l2;
        return dummyHead.next;
    }

}

二、快速排序

快速排序是一种分治算法，它通过选择一个“基准”元素并将链表分为两个子链表（一个包含小于基准的元素，另一个包含大于基准的元素）来工作。然后递归地对这两个子链表进行快速排序。

算法步骤：

1. 选择基准：从数列中挑出一个元素，称为“基准”（pivot）。

2. 分区操作：重新排序数列，所有比基准值小的元素摆放在基准前面，所有比基准值大的元素摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。

3. 递归排序：递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

4. 重复步骤：重复步骤1-3，直到整个数列排序完成。

复杂度分析：快速排序的时间复杂度平均为 O(n log n)，但在最坏情况下会退化到 O(n^2)，不过这种情况比较少见，可以通过随机选择基准来避免。

快速排序的 Java 代码：

class Solution {
    public ListNode sortList(ListNode head) {
        if (head == null || head.next == null) {
            return head;
        }

        ListNode slow = head, fast = head, prev = null;
        // 使用快慢指针找到中点
        while (fast != null && fast.next != null) {
            prev = slow;
            slow = slow.next;
            fast = fast.next.next;
        }
        prev.next = null; // 分割链表

        // 递归排序
        ListNode left = sortList(head);
        ListNode right = sortList(slow);

        // 合并两个有序链表
        return merge(left, right);
    }

    private ListNode merge(ListNode l1, ListNode l2) {
        ListNode dummyHead = new ListNode(0);
        ListNode curr = dummyHead;
        while (l1 != null && l2 != null) {
            if (l1.val < l2.val) {
                curr.next = l1;
                l1 = l1.next;
            } else {
                curr.next = l2;
                l2 = l2.next;
            }
            curr = curr.next;
        }
        curr.next = (l1 != null) ? l1 : l2;
        return dummyHead.next;
    }
}

三、计数排序

计数排序是一种非比较排序算法，适用于元素范围有限的情况。对于链表排序，我们可以先遍历链表，使用一个数组（或哈希表）来统计每个值出现的次数，然后根据这些计数来重建链表。

算法步骤：

1. 确定范围：找出待排序数组中最大和最小的元素，确定元素的数值范围。

2. 创建计数数组：创建一个大小为数值范围的数组（计数数组），初始化计数数组的所有元素为0。

3. 计数：遍历待排序数组，对每个元素，在计数数组中对应的索引加1。

4. 计算累计和：将计数数组中的每个元素累加，得到每个元素在排序后数组中的位置。

5. 放置元素：从后向前遍历待排序数组（这样可以保证相同元素的相对顺序），根据计数数组中的累计和，将元素放到排序后数组的正确位置上，并更新计数数组中的值。

6. 构建排序数组：构建一个新的数组，按计算出的索引将元素放到新数组中。

复杂度分析：

• 时间复杂度为 O (n + k)，其中 n 是数组长度，k 是数值范围。

• 空间复杂度为 O (k)，因为需要一个额外的数组来存储计数信息。

计数排序的 Java 代码：

class Solution {
    public ListNode sortList(ListNode head) {
        if (head == null || head.next == null) {
            return head;
        }

        // 找到链表的最大值以确定计数数组的大小
        int maxVal = 0;
        ListNode curr = head;
        while (curr != null) {
            maxVal = Math.max(maxVal, curr.val);
            curr = curr.next;
        }

        // 初始化计数数组
        int[] count = new int[maxVal + 1];
        curr = head;
        while (curr != null) {
            count[curr.val]++;
            curr = curr.next;
        }

        // 重建链表
        ListNode dummyHead = new ListNode(0);
        ListNode tail = dummyHead;
        for (int i = 0; i <= maxVal; i++) {
            for (int j = 0; j < count[i]; j++) {
                tail.next = new ListNode(i);
                tail = tail.next;
            }
        }

        return dummyHead.next;
    }
}

总结：

• 归并排序：适合链表排序，因为它是稳定的，且不需要额外的空间。

• 快速排序：在链表上实现稍微复杂，但性能通常很好。

• 计数排序：适用于链表中元素值范围不大的情况，实现简单。