【BZOJ3992】【SDOI2015】序列统计

数论劲啊

原题：

小C有一个集合S，里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为N的数列，数列中的每个数都属于集合S。

小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数x，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列{Ai}和{Bi}不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足Ai≠Bi。另外，小C认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

1<=N<=10^9，3<=M<=8000，M为质数，0<=x<=M-1，输入数据保证集合S中元素不重复

首先因为M是质数并且0<=x和S中的元素<=M-1，就说明M有原根而且能很快求出来

于是对于i∈[0,M-1]的数都可以表示成原根的ki(k∈[0,M-1])次幂形式而且k互补相同

于是乘法就转化成了幂的加法，问题变成给|S|个数，求选n个数使得这n个数的和膜M==x的方案数（一个数可以选多次

所以生成函数，对于每个集合中的数si的ki，用ai表示kj==i有多少个（实际上最多只有一个，因为ki互不相同，同时S中的数互不相同

那么最终生成的多项式就是A=a_0+a_1*x+a_2*x^2+……a_{m-1}*x^{m-1}

因为有n个物品，所以多项式卷积n次

因为给的模数是恩梯梯模数，所以使用NTT计算精确答案

最后的答案就是(A^n)的第k_{x}相

代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define ll long long
 const ll mo=;
 int rd(){int z=,mk=;  char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')mk=-;  ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){z=(z<<)+(z<<)+ch-'';  ch=getchar();}
     return z*mk;
 }
 int wtp=,wtc[];
 void wt(int x,char y){
     if(!x){  putchar('');  return ;}
     if(x<)  putchar('-'),x=-x;
     while(x)  wtc[++wtp]=x%+'',x/=;
     while(wtp)  putchar(wtc[wtp--]);
     putchar(y);
 }
 ll n,m,t,s;  int g,tg[];
 ll a[],b[],tmp[],_x,_y;
 int rvs[],dg[],N,L;  ll _1_N;
 int stck[],tp=;
 ll qcp(ll x,int y,int p){
     ll z=,bs=x;
     for(;y;y>>=){
         if(y&)  z=(z*bs)%p;
         bs=(bs*bs)%p;
     }
     return z;
 }
 int gtg(){
     int _m=m-;
     for(int i=;i<=_m;++i)if(!(_m%i)){
         stck[++tp]=i;
         while(!(_m%i))  _m/=i;
     }
     for(int i=,mk=false;;++i,mk=false){
         for(int j=;j<=tp;++j)
             if(qcp(i,(m-)/stck[j],m)==){
                 mk=true;
                 break;
             }
         if(!mk)  return i;
     }
 }
 void ntt(ll x[],ll mk){
     for(int i=;i<N;++i)  tmp[i]=x[rvs[i]];
     for(int i=;i<N;++i)  x[i]=tmp[i];
     for(int i=;i<=N;i<<=){
         ll wn=qcp(,(mk*((mo-)/i))%(mo-),mo);
         for(int k=;k<N;k+=i){
             ll w=;
             for(int j=k;j<k+(i>>);++j){
                 _x=x[j],_y=(x[j+(i>>)]*w)%mo;
                 x[j]=(_x+_y)%mo,x[j+(i>>)]=(_x-_y+mo)%mo;
                 w=(w*wn)%mo;
             }
         }
     }
     if(mk==mo-)  for(int i=;i<N;++i)  x[i]=(x[i]*_1_N)%mo;
 }
 void cclt(){
     b[]=;
     for(;n;n>>=){
         ntt(a,);
         if(n&){
             ntt(b,);  for(int i=;i<N;++i)  b[i]=(b[i]*a[i])%mo;
             ntt(b,mo-);  for(int i=N-;i>=m-;--i)  b[i-m+]=(b[i-m+]+b[i])%mo,b[i]=;
         }
         for(int i=;i<N;++i)  a[i]=(a[i]*a[i])%mo;
         ntt(a,mo-);
         for(int i=N-;i>=m-;--i)  a[i-m+]=(a[i-m+]+a[i])%mo,a[i]=;
     }
 }
 int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
     cin>>n>>m>>t>>s;
     g=gtg();
     for(int i=,x=;i<m-;++i,x=(x*g)%m)  tg[x]=i;
     int x;
     for(int i=;i<=s;++i){
         x=rd();
         if(x)  ++a[tg[x]];
     }
     for(N=,L=;N<=m;N<<=,++L);  N<<=,++L;
     _1_N=qcp(N,mo-,mo);
     for(int i=;i<N;++i){
         for(int j=i,k=;j;j>>=,++k)  dg[k]=j&;
         for(int j=;j<L;++j)  rvs[i]=(rvs[i]<<)|dg[j];
     }
     cclt();
     cout<<b[tg[t]]<<endl;
     return ;
 }