8.6 正睿暑期集训营 Day3

目录

• 2018.8.6 正睿暑期集训营 Day3
  • A 亵渎(DP)
  • B 绕口令(KMP)
  • C 最远点(LCT)
  • 考试代码
    • A
    • B
    • C

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2018.8.6 正睿暑期集训营 Day3

时间：5h(实际)

期望得分：...

实际得分：...

rating-93 _(:зゝ∠)_

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A 亵渎(DP)

题目链接

贪心不对啊，根本不知道该以什么策略。。

最优情况下亵渎应是最后用，此时所有元素都应在1~x内。

f[i][j]表示前i个元素全部变到1~j内（每个整数）的最小花费。则f[i][j]=min(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+cost(i->j)。初始时除0全为INF，因为新的j只能从j-1转移。

注意除1外显然不能从0转移。

略错的思路（答案应该一样）：

DP，f[i][j]表示当前i个，构成阶梯长为j。

我们还要知道用哪些数构成了阶梯。假设用i放到j的话，那么前i-1个要么也构成了阶梯，要么被减到和i一样。

那么就有两种转移：f[i][j]=min(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+cost(i->j)。（不管怎样i都是要削成j的）

在枚举所有i时更新答案就可以了。之前预处理后缀和。

事实上只在最后更新答案就可以，原因见上。。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=5005;

int n,A[N];
LL P,Q,R,f[N];

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}

int main()
{
	n=read(); LL ans=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) ans+=(A[i]=read());
	std::sort(A+1,A+1+n);
	P=read(), Q=read(), R=read(), ans*=Q;

	f[0]=0;
//	for(int i=1; i<=n; ++i) f[i]=1e15;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		LL ai=A[i];
		f[i]=f[i-1]+(ai>i?Q*(ai-i):P*(i-ai)), f[0]=1e15;//一维得特判一下f[i]。。
		for(int j=i-1; j; --j)
			f[j]=std::min(f[j-1],f[j])+(ai>j?Q*(ai-j):P*(j-ai));
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		ans=std::min(ans,f[i]+R);
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}

B 绕口令(KMP)

题目链接

一个环删掉一段，剩下的一段也是连续的。它当中不含有相邻的相同字符。如果原串中存在相邻的相同字符，则在这里把环切开，最后会把环切若干段，合法的剩下的段显然是某一段的一部分。

然后判断在合法的段中是否有长\(x\)的合法长度（若存在，则删\(n-x\)个是可以的），即长\(x\)首尾字母不同的段。而再删一段后首尾字母相同就是一段前后缀相同。

判断前后缀是否相同可以直接用KMP/Hash。如果有长为\(l\)的相同前后缀长度，则\(n-l+1\)位置是非法的。拆环为链每次只删后缀就是正确的了。

如果不存在相邻的相同字符，把整个串求一遍就行了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int N=2e6+5;

bool ok[N];
char s[N],t[N];

void Calc(int l)
{
	static int fail[N];
	static bool ban[N];

//	fail[0]=fail[1]=0;
	for(int i=1,j=0; i<l; ++i)
	{
		while(j && t[j]!=t[i]) j=fail[j];
		fail[i+1]=t[i]==t[j]?++j:0;
	}
	for(int i=fail[l]; i; i=fail[i]) ban[l-i+1]=1;
	for(int i=1; i<=l; ++i) if(!ban[i]) ok[i]=1;
	for(int i=fail[l]; i; i=fail[i]) ban[l-i+1]=0;
}
void Solve()
{
	int n=strlen(s+1),cnt=0,len=n<<1;
	for(int i=1; i<=n; ++i) s[i+n]=s[i];
	for(int i=1; i<len; ++i)
	{
		t[cnt++]=s[i];
		if(s[i]==s[i+1]) Calc(cnt), cnt=0;
	}
	if(cnt) Calc(cnt);
	for(int i=0; i<n; ++i) putchar(ok[n-i]+'0');//, ok[n-i]=0;//清空不完a!!
	for(int i=1; i<len; ++i) ok[i]=0;
	putchar('\n');
}

int main()
{
	int Cs=1;
	while(~scanf("%s",s+1))
		 printf("Case %d:",Cs++), Solve();

	return 0;
}

C 最远点(LCT)

题目链接

动态维护森林中每个点距最远点的距离及其所在树的直径，支持增加、删除边。

LCT，维护每个点到其子树内的最远距离及次远距离。因为树的形态一直在变，用set/heap维护每个点其所有虚子树的 最长延伸距离(hp1)和答案(hp2)。

单独维护每个点左右两棵实子树的最长距离。

因为LCT的Splay形态是中序遍历的序列，即每个点x与其左右儿子不一定是连续的，所以要用x的左子树中与最右点(最深点，即一定与x相邻)相连的最长距离rdis[lson]。

ldis同理。因为一个点可能一会是左儿子一会是右儿子，所以ldis[lson]也顺便维护。

ldis[x]可以由 左子树中的某条链ldis[lson] 或是 左子树整个与x相连的这条实链+右子树或虚子树中的一条链 更新。

距离更新可能不太方便，直接维护路径上的点数，初始都为1，最后输出-1。

其中 x子树整个与fa[x]相连的实链的长度len[x] 可以直接由 len[lson]+len[rson]+1 更新。

x到最远点的距离mxdis[x]由 max{rdis[lson],ldis[rson],虚子树最大值hp1.top()}(+1)更新。

过x的最长链 = max{rdis[lson]+ldis[rson]+1, 虚子树最长链+左/右子树最长链/虚子树次长链+1}，但是ans要算上左右子树、虚子树的ans（再取max）（要整个连通块答案）。

注意hp1[x]中的最长链是要与x相连的，即如果用lson/rson更新则是ldis[rson]/rdis[lson]，用直接与其相连的点x更新则是mxdis[x]（Access与Link）。

说的比较乱。。尽量在解释清楚了。画画图就能看出来。

//2395ms	31672kb
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
const int N=1e5+5;

char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
namespace LCT
{
	#define lson son[x][0]
	#define rson son[x][1]
	int sk[N],fa[N],son[N][2],mxdis[N],ldis[N],rdis[N],len[N],ans[N];
	bool rev[N];
	struct Heap
	{
		std::priority_queue<int> h,d;
		inline void Delete(int x) {d.push(x);}
		inline void Insert(int x) {h.push(x);}
		inline void Fix() {while(!h.empty()&&!d.empty()&&h.top()==d.top()) h.pop(),d.pop();}
		inline int Top() {Fix(); return h.empty()?0:h.top();}
		inline int Sec()
		{
			Fix(); if(h.empty()) return 0;
			int tmp=h.top(); h.pop();
			int ans=Top(); h.push(tmp);
			return ans;
		}
	}hp1[N],hp2[N];

	inline void Init(int n){
		for(int i=1; i<=n; ++i) len[i]=ldis[i]=rdis[i]=ans[i]=1;
	}
	inline void Rev(int x){
		rev[x]^=1, std::swap(lson,rson), std::swap(ldis[x],rdis[x]);
	}
	inline void PushDown(int x){
		if(rev[x]) Rev(lson), Rev(rson), rev[x]^=1;
	}
	inline bool n_root(int x){
		return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;
	}
	void Update(int x)
	{
		int ls=lson, rs=rson, vmx=hp1[x].Top();
		len[x]=len[ls]+len[rs]+1;
		ldis[x]=std::max(ldis[ls],len[ls]+std::max(ldis[rs],vmx)+1);
		rdis[x]=std::max(rdis[rs],len[rs]+std::max(rdis[ls],vmx)+1);
		mxdis[x]=std::max(vmx,std::max(rdis[ls],ldis[rs]))+1;
		ans[x]=std::max(std::max(hp2[x].Top(),std::max(ans[ls],ans[rs])),std::max(rdis[ls]+ldis[rs]+1,vmx+1+std::max(hp1[x].Sec(),std::max(rdis[ls],ldis[rs]))));
	}
	void Rotate(int x)
	{
		int a=fa[x],b=fa[a],l=son[a][1]==x,r=l^1;
		if(n_root(a)) son[b][son[b][1]==a]=x;
		if(son[x][r]) fa[son[x][r]]=a;
		fa[a]=x, fa[x]=b, son[a][l]=son[x][r], son[x][r]=a;
		Update(a);
	}
	void Splay(int x)
	{
		int t=1,a=x; sk[1]=x;
		while(n_root(a)) sk[++t]=a=fa[a];
		while(t) PushDown(sk[t--]);
		while(n_root(x))
		{
			if(n_root(a=fa[x])) Rotate(son[a][0]==x^son[fa[a]][0]==a?x:a);
			Rotate(x);
		}
		Update(x);
	}
	void Access(int x)
	{
		for(int pre=0; x; x=fa[pre=x])
		{
			Splay(x);
			hp1[x].Insert(ldis[rson]), hp2[x].Insert(ans[rson]);
			hp1[x].Delete(ldis[pre]), hp2[x].Delete(ans[pre]);
			rson=pre, Update(x);
		}
	}
	void Make_root(int x){
		Access(x), Splay(x), Rev(x);
	}
	void Link(int x,int y)
	{
		Make_root(x), Access(y), Splay(y);
		fa[x]=y, hp1[y].Insert(mxdis[x]), hp2[y].Insert(ans[x]);
		Update(y);//y的虚子树变了 别忘更新y啊
	}
	void Cut(int x,int y)
	{
		Make_root(x), Access(y), Splay(y);
		son[y][0]=fa[x]=0, Update(y);
	}
	void Query(int x)
	{
		Access(x), Splay(x);
		printf("%d %d\n",mxdis[x]-1,ans[x]-1);
	}
}

int main()
{
	int n=read(); LCT::Init(n);
	for(int i=1; i<n; ++i) LCT::Link(read(),read());
	for(int m=read(),opt; m--; )
		if((opt=read())==1) LCT::Link(read(),read());
		else if(opt==2) LCT::Cut(read(),read());
		else LCT::Query(read());

	return 0;
}

考试代码

A

//还没调对，应该是f[0]和f[i]的特判（初值问题），不想改了。。
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=5005,M=1e6+5;

int n,A[N],tm[M];
LL P,Q,R,f[N],suf[M],suf2[M];

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}

int main()
{
//	freopen("A1.in","r",stdin);
//	freopen("A.out","w",stdout);

	n=read(); int mx=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) mx=std::max(mx,A[i]=read());
	std::sort(A+1,A+1+n);

	P=read(), Q=read(), R=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) ++suf2[A[i]];
	for(int i=1; i<=n; ++i) suf[A[i]]=Q*A[i]*suf2[A[i]];
	for(int i=mx-1; i; --i) suf[i]+=suf[i+1], suf2[i]+=suf2[i+1];

	LL res=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) res+=A[i];
	res*=Q;
	f[0]=1e15, f[1]=(A[1]-1)*Q;
	for(int i=2; i<=n; ++i) f[i]=1e15;
	for(int i=2; i<=n; ++i)
	{
		LL ai=A[i];
		for(int j=i-1; ~j; --j)
		{
			f[j+1]=std::min(f[j+1],f[j])+(ai>j+1?Q*(ai-j-1):P*(j+1-ai));
			res=std::min(res,R+f[j+1]+suf[j+2]-Q*(j+1)*suf2[j+2]);
		}
	}
	printf("%I64d\n",res);

	return 0;
}

B

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=1e6+5;

int n,sum[N];
char s[N];

bool Check(int k)
{
	if(k+1==n) return 1;
	if(!k){
		for(int i=1; i<=n; ++i) if(sum[i]) return 0;
		return 1;
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		int a=i-1,b=(i+k-1)%n+1; if(!a) a=n;
		if(sum[n]-sum[i+k]==0 && s[a]!=s[b]) return 1;
	}
	return 0;
}
void Solve()
{
	n=strlen(s+1); sum[1]=0;
	for(int i=2; i<=n; ++i)
		sum[i]=sum[i-1]+(s[i]==s[i-1]);
//	sum[n+1]=sum[n]+(s[n]==s[1]);
//	for(int i=n+2; i<=n<<1; ++i) sum[i]=sum[i-1]+(s[i-n]==s[i-n-1]);
//	for(int i=1; i<=n; ++i) printf("%d:%d\n",i,sum[i]);
	for(int k=0; k<n; ++k) putchar(Check(k)+'0');
	putchar('\n');
}

int main()
{
	freopen("b2.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);

	int Cs=1;
	while(~scanf("%s",s+1))
		 printf("Case %d:",Cs++), Solve();

	return 0;
}

C

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 400000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e5+5,M=4e5+5;

int n,Enum,H[N],nxt[M],to[M],len[M],V,D;
bool ban[5003][5003];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline void AddEdge(int u,int v)
{
	if(ban[u][v]) {ban[u][v]=ban[v][u]=0; return;}
	to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
	to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
void DFS(int x,int f,int d)
{
	if(d>D) D=d, V=x;
	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=f && !ban[x][v]) DFS(v,x,d+1);
}

int main()
{
//	freopen("c2.in","r",stdin);
//	freopen("my.out","w",stdout);

	n=read();
	for(int i=1; i<n; ++i) AddEdge(read(),read());
	for(int Q=read(),u,v,opt; Q--; )
		if((opt=read())==1) AddEdge(read(),read());
		else if(opt==2) u=read(),v=read(),ban[u][v]=ban[v][u]=1;
		else
		{
			V=u=read();
			D=0, DFS(u,u,0), printf("%d ",D), D=0, DFS(V,V,0), printf("%d\n",D);
		}
	return 0;
}