Codeforces.468C.Hack it!(构造)

题目链接

\(dls\)出的比赛诶...这么妙。

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\(Description\)

令\(f(x)\)表示整数\(x\)在十进制下各个数位的数字之和。给定\(a\)，求两个整数\(l,r\)，使得\(\sum_{i=l}^rf(i)\equiv0\ (\mathbb{mod}\ a)\)。

\(1\leq a\leq10^{18},\ 1\leq l\leq r\leq10^{200}\)，保证存在解。

\(Solution\)

考虑一个简单的性质：\(f(x+10^y)=f(x)+1,\ x\lt10^y\)。

不妨令\(INF=10^{18}\)，设\(\sum\limits_{i=0}^{INF-1}f(i)\equiv p\ (\mathbb{mod}\ a)\)。

由上面的性质可知，\(\sum\limits_{i=1}^{INF}f(i)=p-f(0)+f(INF)=p+1\)。

同理还有：\(\sum\limits_{i=2}^{INF+1}f(i)=p+2...\ \sum\limits_{i=k}^{INF+k-1}f(i)=p+k\)（都是模\(a\)意义下）。

然后就可以构造出\(a=p+a-p=\sum\limits_{i=a-p}^{INF+a-p-1}f(i)\)。所以令\(l=a-p,\ r=10^{18}+a-p-1\)就可以啦。

有个问题是求\(\sum_{i=0}^{10^{18}-1}f(i)\ \mathbb{mod}\ a\)。展开一下：$$\begin{aligned}\sum_{i=0}^{10{18}-1}f(i)&=(1+2+...+9)10^{{17}+10\times\sum_{i=0}}{10^{{17}-1}f(i)\&=45\times10}{17}+10(45\times10^{{16}+10\times\sum_{i=0}}{10^{{15}-1}f(i))\&=...\&=18\times45\times10}{17}=81\times10^{18}\end{aligned}$$

这样就做完啦。

还有个做法是，考虑有\(\sum\limits_{i=1+x}^{10^y+x}f(i)-\sum\limits_{i=1}^{10^y}f(i)=x,\ x\lt10^y\)。枚举\(y\)，如果有\(a-\sum\limits_{i=0}^{10^y}<10^y\)，令\(x\)等于这个数，就有\(\sum\limits_{i=1+x}^{10^y+x}f(i)=\sum\limits_{i=0}^{10^y}+a-\sum\limits_{i=0}^{10^y}=a\)了。

需要预处理一下\(\sum_{i=1}^{10^y}f(i)\)，因为是上限\(10\)的幂所以算一下每个数出现次数即可（或者像上面一样直接算）。

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#include <cstdio>
typedef long long LL;
const LL INF=1e18;

int main()
{
	LL a; scanf("%I64d",&a);
	LL l=a-INF*9%a*9%a;
	printf("%I64d %I64d\n",l,INF+l-1);

	return 0;
}