（转）二分图匹配匈牙利算法与KM算法

匈牙利算法转自于： https://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

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一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

===============================================================================

三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

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四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

【code】

bool find(int x){
    int i,j;
    for (j=;j<=m;j++){    //扫描每个妹子
        if (line[x][j]==true && used[j]==false)
        //如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题，但是没有成功，所以就不用瞎费工夫了）
        {
            used[j]=;     //use 用来标记这一个男生想要这一个女生
            if (girl[j]== || find(girl[j])) {    //名花有主？ 那就看看能不能移花接木！
                //名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归
                girl[j]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

在主程序我们这样做：每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步

for (i=;i<=n;i++)   // 遍历每一个男生
{
    memset(used,,sizeof(used));    //这个在每一步中清空
    if find(i) all+=;
}

KM转载于：https://www.cnblogs.com/logosG/p/logos.html

二、KM算法

现在我们来考虑另外一个问题：如果每个员工做每件工作的效率各不相同，我们如何得到一个最优匹配使得整个公司的工作效率最大呢？

这种问题被称为带权二分图的最优匹配问题，可由KM算法解决。

比如上图，A做工作a的效率为3，做工作c的效率为4......以此类推。

不了解KM算法的人如何解决这个问题？我们只需要用匈牙利算法找到所有的最大匹配，比较每个最大匹配的权重，再选出最大权重的最优匹配即可。这不失为一个解决方案，但是，如果公司员工的数量越来越多，此种算法的实行难度也就越来越大，我们必须另辟蹊径：KM算法。

KM算法解决此题的步骤如下所示：

1.首先对每个顶点赋值，将左边的顶点赋值为最大权重，右边的顶点赋值为0。

如图，我们将顶点A赋值为其两边中较大的4。

2.进行匹配，我们匹配的原则是：只与权重相同的边匹配，若是找不到边匹配，对此条路径的所有左边顶点-1，右边顶点+1，再进行匹配，若还是匹配不到，重复+1和-1操作。（这里看不懂可以跳过，直接看下面的操作，之后再回头来看这里。）

对A进行匹配，符合匹配条件的边只有Ac边。

匹配成功！

接下来我们对B进行匹配，顶点B值为3，Bc边权重为3，匹配成~ 等等，A已经匹配c了，发生了冲突，怎么办？我们这时候第一时间应该想到的是，让B换个工作，但根据匹配原则，只有Bc边 3+0=0 满足要求，于是B不能换边了，那A能不能换边呢？对A来说，也是只有Ac边满足4+0=4的要求，于是A也不能换边，走投无路了，怎么办？

从常识的角度思考：其实我们寻找最优匹配的过程，也就是帮每个员工找到他们工作效率最高的工作，但是，有些工作会冲突，比如现在，B员工和A员工工作c的效率都是最高，这时我们应该让A或者B换一份工作，但是这时候换工作的话我们只能换到降低总体效率值的工作，也就是说，如果令R=左边顶点所有值相加，若发生了冲突，则最终工作效率一定小于R，但是，我们现在只要求最优匹配，所以，如果A换一份工作降低的工作效率比较少的话，我们是能接受的（对B同样如此）。

在KM算法中如何体现呢？

现在参与到这个冲突的顶点是A,B和c，令所有左边顶点值-1，右边顶点值+1，即 A-1,B-1. c+1，结果如下图所示。

我们进行了上述操作后会发现，若是左边有n个顶点参与运算，则右边就有n-1个顶点参与运算，整体效率值下降了1*（n-（n-1））=1，而对于A来说，Ac本来为可匹配的边，现在仍为可匹配边（3+1=4），对于B来说，Bc本来为可匹配的边，现在仍为可匹配的边（2+1=4），我们通过上述操作，为A增加了一条可匹配的边Aa，为B增加了一条可匹配的边Ba。

现在我们再来匹配，对B来说，Ba边 2+0=2，满足条件，所以B换边，a现在为未匹配状态，Ba匹配！

我们现在匹配最后一条边C，Cc 5+1！=5，C边无边能匹配，所以C-1。

现在Cc边 4+1=5，可以匹配，但是c已匹配了，发生冲突，C此时不能换边，于是便去找A，对于A来说，Aa此时也为可匹配边，但是a已匹配，A又去找B。

  

B现在无边可以匹配了，2+0！=1 ，现在的路径是C→c→A→a→B，所以A-1,B-1,C-1,a+1，c+1。如下图所示。

对于B来说，现在Bb 1+0=1 可匹配！

使用匈牙利算法，对此条路径上的边取反。

如图，便完成了此题的最优匹配。

读者可以发现，这题中冲突一共发生了3次，所以我们一共降低了3次效率值，但是我们每次降低的效率值都是最少的，所以我们完成的仍然是最优匹配！

这就是KM算法的整个过程，整体思路就是：每次都帮一个顶点匹配最大权重边，利用匈牙利算法完成最大匹配，最终我们完成的就是最优匹配！

KM代码：

这个板子是能过的。。。。但竟然过不了uva—1411。。然后 我有找了一个板子。。差不多。。就是用了slack来记录顶标要减小最小值  在下面。。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn = , INF = 0x7fffffff;
int usedx[maxn], usedy[maxn], w[maxn][maxn], bx[maxn], by[maxn], cx[maxn], cy[maxn];
int nx, ny, n, minn, max_value;

int dfs(int u)
{
    usedx[u] = ;
    for(int i=; i<=ny; i++)
    {
        if(usedy[i] == -)
        {
            int t = bx[u] + by[i] - w[u][i];
            if(t == )
            {
                usedy[i] = ;
                if(cy[i] == - || dfs(cy[i]))
                {
                    cy[i] = u;
                    cx[u] = i;
                    return ;
                }
            }
            else if(t > )
                minn = min(minn, t);
        }
    }
    return ;
}

int km()
{
    mem(cx, -);
    mem(cy, -);
    mem(bx, -);
    mem(by, );
    for(int i=; i<=nx; i++)
        for(int j=; j<=ny; j++)
            bx[i] = max(bx[i], w[i][j]);
    for(int i=; i<=nx; i++)
    {
        while()   //因为一定可以完美匹配 所以对于每个左边点 找到最大权值匹配再去找下一个点
        {
            minn = INF;
            mem(usedx, -);
            mem(usedy, -);
            if(dfs(i)) break;
            for(int j=; j<=nx; j++)   //更新参与到匹配中的左边点和右边点的标值
                if(usedx[j] != -) bx[j] -= minn;
            for(int j=; j<=ny; j++)
                if(usedy[j] != -) by[j] += minn;
        }
    }
    max_value = ;
    for(int i=; i<=nx; i++)
        if(cx[i] != -)
            max_value += w[i][cx[i]];
    printf("%d\n",max_value);
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=; i<=n; i++)
            for(int j=; j<=n; j++)
                scanf("%d",&w[i][j]);
        nx = ny = n;
        km();
    }
    return ;
}

用这个板子把！

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn = , INF = 0x7fffffff;
int usedx[maxn], usedy[maxn], w[maxn][maxn], bx[maxn], by[maxn], cx[maxn], cy[maxn], slack[maxn];
int nx, ny, n, max_value;

int dfs(int u)
{
    usedx[u] = ;
    for(int i=; i<=ny; i++)
    {
        if(usedy[i] == -)
        {
            int t = bx[u] + by[i] - w[u][i];
            if(t == )
            {
                usedy[i] = ;
                if(cy[i] == - || dfs(cy[i]))
                {
                    cy[i] = u;
                    cx[u] = i;
                    return ;
                }
            }
            else
                slack[i] = min(slack[i], t);
        }
    }
    return ;
}

void km()
{
    mem(cx, -);
    mem(cy, -);
    mem(bx, -);
    mem(by, );
    for(int i=; i<=nx; i++)
        for(int j=; j<=ny; j++)
            bx[i] = max(bx[i], w[i][j]);
    for(int i=; i<=nx; i++)
    {
        for(int j=; j<=n; j++)
            slack[j] = INF;
        while()
        {
            mem(usedx, -);
            mem(usedy, -);
            if(dfs(i)) break;
            int d = INF;
            for(int j=; j<=ny; j++)
                if(usedy[j] == -)
                    d = min(d, slack[j]);
            for(int j=; j<=nx; j++)
                if(usedx[j] != -) bx[j] -= d;
            for(int j=; j<=ny; j++)
                if(usedy[j] != -) by[j] += d;
                else
                    slack[j] -= d;
        }
    }
    max_value = ;
    for(int i=; i<=nx; i++)
        if(cx[i] != -)
            max_value += w[i][cx[i]];
    printf("%d\n",max_value);
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        mem(w, 0);
        for(int i=; i<=n; i++)
            for(int j=; j<=n; j++)
                scanf("%d", &w[i][j]);
        nx = ny = n;
        km();
    }
    return ;
}

PS：笔者此文旨在用通俗易懂的语言解释匈牙利算法和KM算法，所以对部分定理未加以证明，甚至有的部分一笔带过，这是为了全文的流畅性考虑，不专业之处请多多谅解。