力扣357(java)-统计各位数字都不同的数字个数（中等）

题目：

给你一个整数 n ，统计并返回各位数字都不同的数字 x 的个数，其中 0 <= x < 10ⁿ 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：91
解释：答案应为除去 11、22、33、44、55、66、77、88、99 外，在 0 ≤ x < 100 范围内的所有数字。
示例 2：

输入：n = 0
输出：1

提示：

• 0 <= n <= 8

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/count-numbers-with-unique-digits
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解题思路：【数学思维】

当n == 0时，10ⁿ == 1，满足条件的数字只有0，即为1个，f(0) = 1；

当n == 1时，10ⁿ == 10，满足条件的数字有0~9,即共10个，f(1) = 10；

当n == 2时，10ⁿ == 100，满足条件的数字分为两部分，一部分是n == 1时的10个数字，一部分是两位数的数字，相当于第一位数字在1~9（不能为前导零）中任取一个，第二个数字只能取与第一个数字不相同的其他9个数字；例如第一个数字取3，第二个数字只能取除3以外的数字。即为30,31,32,34,35,36,37,38,39,新增 9*9个数字，即 f(2) = f(1) + 9 * 9;

当n == 3时，10ⁿ == 1000，满足条件的数字分为三部分，一部分是n == 1时的10个数字，一部分是两位数的数字，就是9*9，一部分是三位数，只是第三位数可取的只能有8个即新增9*9*8，即 f(3) = f(1)+9*9+9*9*8=f(2)+9*9*8;

当n==4时，与n==3同理， f(4) = f(1)+9*9+9*9*8+9*9*8*7=f(3)+9*9*8*7;

根据规律，推导出通式：

f(n)= f(n-1)+[f(n-1)-f(n-2)]*[10-(n-1)]

推导草稿：

 代码：

 1 class Solution {
 2     public int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
 3         if(n == 0) return 1;
 4         int[] f = new int[n+1];
 5         f[0] = 1;
 6         f[1] = 10;
 7         for(int i = 2; i <= n; i++){
 8             f[i] = f[i-1] +(f[i-1] - f[i-2]) * (10-(i-1));
 9         }
10         return f[n];
11     }
12 }