「note」原根照抄

阶（multiplicative order）

\(\textbf{Def.}\)：\(\delta_m(a)\) 为最小的 \(n\) 使得 \(a^n\equiv 1\pmod m\)，其中 \((a,m)=1\)。

Observation 1：\(\boxed{a^0\not\equiv a^1\not\equiv\dots\not\equiv a^{\delta_m(a)-1}\pmod m}\)。

\(\textbf{Proof}\)：若 \(\exists i,j,s.t.0\leqslant i<j<\delta_m(a),a^i\equiv a^j\pmod m\)，则 \(a^{i-j}\equiv 1\pmod m\)，又 \(i-j<\delta_m(a)\)，矛盾。

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Observation 2：\(\boxed{\delta_m(a)\mid\varphi(m)}\)。

\(\textbf{Proof}\)：由欧拉定理： \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)，因为 \(1^x=1\)，所以如果存在 \(x_0\) 使得 \(a^{x_0}\equiv 1\pmod m\)，那么 \(x_0\) 倍数也一定可以，也就是说存在周期性，所以 \(\delta_m(a)\mid\varphi(m)\)。BTW，同时也有若 \(a^n\equiv 1\pmod m\)，则 \(\delta_m(a)\mid n\)。

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顺便可以知道若 \(a^p\equiv a^q\pmod m\)，则 \(p\equiv q\pmod{\delta_m(a)}\)。

Lemma 1：设 \(m\in\mathbb{N}^*\)，\(a,b\in\mathbb{Z}\)，\((a,m)=(b,m)=1\)，则 \(\boxed{\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b)}\) 的重要条件是 \((\delta_m(a),\delta_m(b))=1\)。

\(\textbf{Proof}\)：略，具体见此处。

Lemma 2：设 \(k\in\mathbb{N}\)，\(m\in\mathbb{N}^*\)，\(a\in\mathbb{Z}\)，\((a,m)=1\)，则 \(\boxed{\delta_m(a^k)=\frac{\delta_m(a)}{(\delta_m(a),k)}}\)。

\(\textbf{Proof}\)：略，具体见此处。

原根（primitive root）

\(\textbf{Def.}\)：对于 \((a,m)=1\)，若 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则称 \(a\) 是模 \(m\) 的原根。

Lemma 1（判定定理）：设 \(m\geqslant3\)，\((a,m)=1\)，则 \(a\) 为模 \(m\) 的原根当且仅当 \(\boxed{\forall p\in\mathbb{P},p\mid\varphi(m),a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv1\pmod m}\)。

\(\textbf{Proof}\)：必要性显然，充分性证明见此处。

Lemma 2（数量定理）：若 \(m\) 存在原根，则其原根数量为 \(\boxed{\varphi(\varphi(m))}\)。

\(\textbf{Proof}\)：略，具体见此处。

Lemma 3（存在定理）：\(m\) 存在原根当且仅当 \(\boxed{m=2,4,p^\alpha,2p^\alpha}\)，其中 \(p\) 为奇素数，\(a\in\mathbb{N}^*\)。

\(\textbf{Proof}\)：略，具体见此处。

若 \(m\) 存在原根，则最小原根 \(\leqslant m^\frac{1}{4}\)。