斜率优化DP 学习笔记

斜率优化 DP

适用情况

适用于求解最优解（最大、最小）问题。

上凸壳与下凸壳

求解步骤

1. 对于任意状态转义方程，设 \(A_i\)，\(B_i\)，使状态转移方程转化为

   • \(f_i = \min(f_j + (A_i - B_j) ^ 2)\)

2. 当 \(i\) 使从 \(j\) 转移来时，丢掉 \(\min\)

   • \(f_i = f_j + {A_i} ^ 2 + {B_j} ^ 2 - 2 \times A_i \times B_j\)

3. 将仅和 \(j\) 有关的放在左边，其他的放在右边

   • \(f_j + {B_j} ^ 2 = 2 \times A_i \times B_j + f_i - {A_i} ^ 2\)

4. 仅和 \(j\) 有关的，是已经求出来的，看做 \(y\)；仅和 \(i\) 有关的，再附加上常数，是需要求的，看做纵截距；剩下的与 \(i\) 和 \(j\) 都有关，将其中仅与 \(j\) 有关的因式看做 \(x\)，剩余的因式看做斜率

   • \(y = f_j + {B_j} ^ 2\)
   • \(k = 2 \times A_i\)
   • \(x = B_j\)
   • \(b = f_i - {A_i} ^ 2\)

5. 当 \(x\) 单调递增时：

   • 若 \(k\) 单调递增或递减，可以使用单调栈维护
   • 若 \(k\) 无单调性，可以在数组内二分斜率，找到与目标相切的点

6. 已知两个点 \(\text{A}(x_1, y_1)\)，\(\text{B}(x_2, y_2)\)，则直线 \(\text{AB}\) 斜率为 \(\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\)

• 小问题：当 \(x\) 非单调递增呢？我还没学QwQ

题单

可以参考这个：https://www.luogu.com.cn/training/5352