Solution -「洛谷 P4007」小 Y 和恐怖的奴隶主

Description

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这道题 的加强版。

Solution

题解里面大多数都是概率 DP，或者是期望 DP 然后是逆推。甚至不给 DP 的转移式。机房 yyds Reanap 发了一篇逆推的题解，那我就来补一篇正推的期望 DP 的填表法做法。

首先这道题看上去好像可以状压的样子，我们可以设 \(f_{i,S}\) 表示当前打了 \(i\) 次，敌方的情况是 \(S\) 的期望。

不过仔细想一下发现我们只需要知道各种血量的奴隶主有多少即可。

于是我们重新设计 DP 的状态：\(f_{s,i,j,k}\) 表示目前打了 \(s\) 次，敌方分别有 \(i\)、\(j\)、\(k\) 个 1hp、2hp、3hp 的奴隶主。

首先我们令 \(T=[i+j+k<K]\)

那么我们的方程就是：

\[f_{s,i,j,k}=\begin{cases}
f_{s-1,i-1,j,k}+\frac{i}{i+j+k+1},M=1\land i\neq0 \\
f_{s-1,i-1,j,k}+\frac{i}{i+j+k+1},M=2\land i\neq0 \\
f_{s-1,i+1,j-1+T,k}+\frac{j}{i+j+k+1},M=2\land j\neq0 \\
f_{s-1,i-1,j,k}+\frac{i}{i+j+k+1},M=3\land i\neq0 \\
f_{s-1,i+1,j-1,k+T}+\frac{j}{i+j+k+1},M=3\land j\neq0 \\
f_{s-1,i,j+1,k-1+T}+\frac{k}{i+j+k+1},M=3\land k\neq0
\end{cases}
\]

这个方程挺好理解的，基本就等于照题意模拟。

然后我们发现转移式中的系数部分和 \(f\) 数组没有关系，所以我们可以用矩阵来加速这个东西。

数一数状态数，直接加速直接 T 飞。

有一个矩阵加速常用的 trick，预处理矩阵 2 的幂。

然后取模卡卡常即可。

（代码不保证稳定能过）

#include <cstdio>
#define mod ( 998244353 )

using namespace std;
typedef long long LL;

char buf[1 << 21], *p1 = buf, *p2 = buf;
#define getchar( ) ( p1 == p2 && ( p2 = ( p1 = buf ) + fread( buf, 1, 1 << 21, stdin ), p1 == p2 ) ? EOF : *p1 ++ )

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0;
	char c = getchar( );
	_T f = 1;
	while( c < '0' || c > '9' )
	{
		if( c == '-' )	f = -1;
		c = getchar( );
	}
	while( c >= '0' && c <= '9' )	x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( c ^ '0' ), c = getchar( );
	x *= f;
}

template<typename _T, typename... Args>
void read( _T &t, Args&... args ) { read( t ), read( args... ); }

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 )	putchar( '-' ), x = -x;
	if( x > 9 )	write( x / 10 );
	putchar( x % 10 + '0' );
}

template<typename _T>
void Add( _T &x, _T y )
{
	if( y >= mod )  y %= mod;
	x += y;
	if( x >= mod )  x -= mod;
}

template<typename _T>
_T square( _T x ) { return x * x; }

const int Maxn = 10 + 5, Maxk = 170 + 5;
int T, M, K, S, Unite[Maxn][Maxn][Maxn];
LL tmp[Maxk], Ans[Maxk], Inv[Maxn];
struct Matrix
{
	LL mat[Maxk][Maxk];

	friend Matrix operator * ( const Matrix &one, const Matrix &another )
	{
		Matrix res;
		for( int i = 0; i <= S + 1; ++ i )
		{
			for( int j = 0; j <= S + 1; ++ j )
			{
				res.mat[i][j] = 0;
				for( int k = 0; k <= S + 1; ++ k )	Add( res.mat[i][j], one.mat[i][k] * another.mat[k][j] );
			}
		}
		return res;
	}
} dp[Maxk];

template<typename _T>
_T qkpow( _T base, _T times )
{
	_T res = 1;
	while( times )
	{
		if( times & 1 )	res = ( LL )res * base % mod;
		base = ( LL )base * base % mod;
		times >>= 1;
	}
	return res;
}

void progressInversions( ) { for( int i = 0; i <= 10; ++ i )	Inv[i] = qkpow( i, mod - 2 ); }
signed main( )
{
	progressInversions( );
	read( T, M, K );
	for( int i = 0; i <= K; ++ i )
	{
		int UpI;
		if( M > 1 )	UpI = K - i;
		else	UpI = 0;
		for( int j = 0; j <= UpI; ++ j )
		{
			int UpJ;
			if( M > 2 )	UpJ = K - i - j;
			else	UpJ = 0;
			for( int k = 0; k <= UpJ; ++ k )	Unite[i][j][k] = ++ S;
		}
	}
	for( int i = 0; i <= K; ++ i )
	{
		int UpI;
		if( M > 1 )	UpI = K - i;
		else	UpI = 0;
		for( int j = 0; j <= UpI; ++ j )
		{
			int UpJ;
			if( M > 2 )	UpJ = K - i - j;
			else	UpJ = 0;
			for( int k = 0; k <= UpJ; ++ k )
			{
				int Add;
				if( i + j + k < K )	Add = 1;
				else	Add = 0;
				if( M == 1 && i )	dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i - 1][j][k]] = ( LL )i * Inv[i + j + k + 1] % mod;
				else if( M == 2 )
				{
					if( i )	dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i - 1][j][k]] = ( LL )i * Inv[i + j + k + 1] % mod;
					if( j )	dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i + 1][j - 1 + Add][k]] = ( LL )j * Inv[i + j + k + 1] % mod;
				}
				else if( M == 3 )
				{
					if( i )	dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i - 1][j][k]] = ( LL )i * Inv[i + j + k + 1] % mod;
					if( j )	dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i + 1][j - 1][k + Add]] = ( LL )j * Inv[i + j + k + 1] % mod;
					if( k )	dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i][j + 1][k - 1 + Add]] = ( LL )k * Inv[i + j + k + 1] % mod;
				}
				dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i][j][k]] = dp[0].mat[Unite[i][j][k]][S + 1] = Inv[i + j + k + 1];
			}
		}
	}
	dp[0].mat[S + 1][S + 1] = 1;
	for( int i = 1; i <= 60; ++ i )	dp[i] = square( dp[i - 1] );
	while( T -- > 0 )
	{
		LL N;
		read( N );
		for( int i = 0; i <= S + 1; ++ i )  Ans[i] = 0;
		if( M == 1 )	Ans[Unite[1][0][0]] = 1;
		else if( M == 2 )	Ans[Unite[0][1][0]] = 1;
		else	Ans[Unite[0][0][1]] = 1;
		for( int i = 0; i <= 60; ++ i )
		{
			if( ( N >> i ) & 1 )
			{
				for( int j = 0; j <= S + 1; ++ j )
				{
					tmp[j] = 0;
					for( int k = 0; k <= S + 1; ++ k )	Add( tmp[j], Ans[k] * dp[i].mat[k][j] );
				}
				for( int j = 0; j <= S + 1; ++ j )	Ans[j] = tmp[j];
			}
		}
		write( Ans[S + 1] ), putchar( '\n' );
	}
	return 0;
}