HDU 2709 Sumset DP 二进制

原题链接

题意

• 给我们一个整数k，要求我们将k分成若干个二的整数幂(1, 2, 4, 8...)的加和形式，问我们所有的分法中，本质不同（即某个2的幂的数量不同）的形式有多少种，k最多为1000000，输出答案的后9位数

思路

• 由k范围，我们寻找线性算法，可以从题中给出的k == 7的例子来分析，如下图
  
  

• 可以看到，由于7余2等于1，而1不可分解，所以每一行都有一个1，所以显然，我们如果给7减去1之后，结果将仍然是6种，所以我们可以发现，k为奇数时的结果就是k - 1的结果。

• 然后我们抛开最左边的一列1，从下往上看可以发现，第5 6行的所有数可以都除以2，然后得（（1 1 1），（1 2）），这正是3的分解结果

• 而再往上看1234行，我们发现左边两列都是1，可以看做是第五行中，一个2分解的结果，于是忽略这两列，然后可以发现，从（1，1，1，1）到（4）正是4的分解结果，也就是6 - 2(因为忽略了两行1)的结果

• 考虑k等于其他偶数时，我们可以发现上述情况是一定会有的 —— 我们总是会分出一个最小值为2的序列，然后这个序列总体除以2，就是k / 2的分解结果，然后我们将其中的一个2分解为2个1, 然后剩下的就是k - 2的分解结果，这样就包含了全部情况了

• 所以k为奇数时, F[k] = F[k - 1]的答案，而k为偶数时，F[k] = F[k >> 1] + F[k - 2]

提示

• 这道题有提到single line，但是仍然有多组数据

• 虽然题目要求后9位，但是在此题中直接%1e9是没有问题的，可能是出题人没有想到

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define lowbit(x) (x&(-x))

using namespace std;

const long long modd = 1000000000;

long long ff[1000005];
int n;

int main()
{
	ff[0] = 1;
	for (long long j = 1; j <= 1000000; ++j)
	{
		if (j & 1)
		{
			ff[j] = ff[j - 1];
		}
		else
		{
			ff[j] = ((ff[j] + ff[j - 2]) % modd + ff[j >> 1]) % modd;
		}
	}
	while (scanf("%d", &n) == 1)
	{
		printf("%lld\n", ff[n]);
	}
	return 0;
}