NC23413 小A买彩票

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题目

题目描述

小A最近开始沉迷买彩票，并且希望能够通过买彩票发家致富。已知购买一张彩票需要3元，而彩票中奖的金额分别为1,2,3,4元，并且比较独特的是这个彩票中奖的各种金额都是等可能的。现在小A连续购买了n张彩票，他希望你能够告诉他至少能够不亏本的概率是多少。

输入描述

一行一个整数N，为小A购买的彩票数量一行一个整数N，为小A购买的彩票数量一行一个整数N，为小A购买的彩票数量

输出描述

输出一个最简分数a/b，表示小A不亏本的概率。若概率为1，则输出1/1，概率为0，则输出0/1。输出一个最简分数a/b，表示小A不亏本的概率。

若概率为1，则输出1/1，概率为0，则输出0/1。输出一个最简分数a/b，表示小A不亏本的概率。若概率为1，则输出1/1，概率为0，则输出0/1。

示例1

输入

2

输出

3/8

备注

\(0 \leq n \leq 30\)

题解

知识点：线性dp。

设 \(dp[i][j]\) 表示第 \(i\) 次获得 \(j\) 元的概率。因为要输出分数，老样子先乘上个基数，这里取 \(4^n\) 比较合适，因为最多 \(n\) 次都除 \(4\) 。

注意边界条件，\(j\) 的范围是 \([i,4i]\) 。每次至少得到 \(1\) 元，因此上一轮总金额 \(j-k\) 至少大于等于 \(i-1\) 。

转移方程：

\[dp[i][j] = \sum_{k=1}^{4} \frac14 dp[i-1][j-k] ,j-k\geq i-1
\]

考虑优化空间，由于转移只和上一层有关，可以考虑压缩成一维。

时间复杂度 \(O(n^2)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

ll dp[127];

ll gcd(ll a, ll b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    ll base = 1LL << (2 * n);
    dp[0] = base;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 4 * i;j >= i;j--) {
            dp[j] = 0;///因为是累加莫忘初始化
            for (int k = 1;k <= 4;k++)
                if (j - k >= i - 1) dp[j] += dp[j - k] / 4;///大于等于i因为上一层最小是i-1
        }
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 3 * n;i <= 4 * n;i++)
        ans += dp[i];
    ll d = gcd(ans, base);
    cout << ans / d << '/' << base / d << '\n';
    return 0;
}