2023牛客暑期多校训练营7 CGILM

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C

题解

知识点：位运算，贪心。

我们用分段的思想考虑大小关系，若在同一段则大小不能确定，一开始为 \([1,n]\) 。

我们按位从高到低考虑，某位如果 \(b_i\) 产生了 \(1\) ，那么会这一位的第 \(i\) 个数产生大小的分段，得到 \([1,i-1]<[i,n]\) ，之后这两段的大小关系就确定了，我们可以对各段分别继续相同的讨论。

同时，若在某一位，某段中产生分段，在这段的分段点之前所有数字的这一位一定是全 \(0\) ，之后一定是全 \(1\) ，否则就会大小关系矛盾无解。因此，分段后 \(0,1\) 的情况就立刻确定了。此时可能会出现，在某一位，之前产生的分段已经限制了当前位的情况，而当前的分段需要的 \(0,1\) 情况和之前确定的不同，此时也无解。

到最后，我们确定了所有能确定的位，剩下的位就是自由的。我们发现只要确定 \(a_1\) 即可确定所有数字，我们用 \(k-1\) 的二进制，从低位到高位填入 \(a_1\) 的自由位，就可以得到字典序第 \(k\) 小的序列。

实现时，我们对 \(b\) 数组前缀异或和，此时得到的是每一个数字和 \(a_1\) 异或的值，用刚才的思路稍作修改，即可直接完成对 \(a_1\) 每一位情况的确定。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int a[1000007];
int a1[30];
bool solve() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    a[1] = 0;
    for (int i = 2;i <= n;i++) cin >> a[i], a[i] ^= a[i - 1];

    vector<pair<int, int>> seg = { {1,n} };
    for (int i = 29;i >= 0;i--) {
        vector<pair<int, int>> tmp;
        a1[i] = -1;
        for (auto [l, r] : seg) {
            int pos = l;
            while (pos <= r) {
                if ((a[l] >> i & 1) != (a[pos] >> i & 1)) break;
                pos++;
            }
            tmp.push_back({ l,pos - 1 });
            if (pos > r) continue;
            tmp.push_back({ pos,r });
            for (int j = pos;j <= r;j++) {
                if ((a[pos] >> i & 1) == (a[j] >> i & 1)) continue;
                return false;
            }
            int x = a[l] >> i & 1;
            if (a1[i] != -1 && a1[i] != x) return false;
            a1[i] = x;
        }
        seg = tmp;
    }

    k--;
    for (int i = 0;i <= 29;i++) {
        if (a1[i] != -1) a[1] |= a1[i] << i;
        else {
            a[1] |= (k & 1) << i;
            k >>= 1;
        }
    }
    if (k) return false;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cout << (i == 1 ? a[1] : a[1] ^ a[i]) << " \n"[i == n];
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

G

题解

知识点：模拟，数学。

注意到，我们可以把能互相修改的环单独拿出来考虑，考虑每个环是否可以清零即可。

对于一个环 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\)，我们随意选择一个数字作为起点，假设将其和下一个环上相邻的数字 \(a_2\) 减去 \(x\) ，再将后续数字清零并回到 \(a_1\) 将 \(a_1\) 清零，呈现操作次数为 \(x,a_2 - x,a_3-a_2 + x, \cdots\) 。最后一步，得到的是将 \(a_1\) 清零的操作次数，它应该等于 \(x\) 。

在这个过程中，我们利用操作次数必须是非负的，来收紧 \(x\) 的上下界 \([l,r]\) ，若上下界是空集，则无解。

我们发现操作次数是个一次函数，若 \(m\) 是奇数则得到 \(-x+b\) ，否则为 \(x + b\) 。对于前者情况，若 \(b\) 是偶数则 \(x = b/2\) ，否则无解；对于后者情况，若 \(b \neq 0\) 则 \(x\) 在 \([l,r]\) 范围任意有解，否则无解。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int a[1000007];
bool vis[1000007];

bool check(const vector<int> &cyc) {
    int sz = cyc.size();
    ll val = 0;
    ll l = 0, r = cyc[0];
    for (int i = 1;i <= sz;i++) {
        val = cyc[i % sz] - val;
        if (i & 1) r = min(r, val);
        else l = max(l, -val);
    }
    if (r < l) return false;
    if (sz & 1) {
        if (val & 1) return false;
        ll x = val / 2;
        if (x < l || x > r) return false;
        return true;
    }
    else return val == 0;
}

bool solve() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    bool ok = 1;
    for (int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i], vis[i] = 0, ok &= !a[i];
    if (ok) {
        cout << "YES" << '\n';
        return true;
    }
    else if (k > n / 2) {
        cout << "NO" << '\n';
        return true;
    }
    for (int i = 0;i < n;i++) {
        if (vis[i]) continue;
        vector<int> cyc;
        int pos = i;
        while (!vis[pos]) {
            cyc.push_back(a[pos]);
            vis[pos] = 1;
            (pos += k) %= n;
        }
        if (!check(cyc)) {
            cout << "NO" << '\n';
            return true;
        }
    }
    cout << "YES" << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

I

题解

知识点：根号分治，容斥原理，枚举。

先将字符串按长度分类。

对于同一个长度的字符串，考虑按长度和个数分治，若长度大于个数则用字符串本身容斥，否则直接暴力搜索每个可能的串并检查是否能匹配。

后者情况很好处理，前者的容斥每次需要选择一个字符串的子集，计算子集中字符串的共同贡献。因此，对于一个子集里的字符串，每一位都必须是不矛盾的，否则这个子集的贡献是 \(0\) ，最后统计有多少位置是自由的，即可计算贡献。

时间复杂度 \(O(2^{\sqrt{n}} \sum |s_i|)\)

空间复杂度 \(O(\sum |s_i|)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int P = 998244353;

vector<string> s[407];
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        string t;
        cin >> t;
        s[t.size()].push_back(t);
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 1;i <= 400;i++) {
        if (!s[i].size()) continue;
        if (s[i].size() > i) {
            for (int j = 0;j < (1 << i);j++) {
                for (auto str : s[i]) {
                    bool ok = 1;
                    for (int k = 0;k < i;k++) ok &= str[k] == '?' || (j >> (i - k - 1) & 1) == str[k] - '0';
                    if (ok) {
                        (ans += 1) %= P;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        else {
            int sz = s[i].size();
            for (int j = 1;j < (1 << sz);j++) {
                bool f = 0;
                string tmp(i, '?');
                for (int k = 0;k < sz;k++) {
                    if (!(j >> k & 1)) continue;
                    f ^= 1;
                    for (int l = 0;l < i;l++) {
                        if (s[i][k][l] == '?') continue;
                        if (tmp[l] == '?') tmp[l] = s[i][k][l];
                        if (tmp[l] != s[i][k][l]) tmp[l] = '#';
                    }
                }

                int mul = 1;
                bool ok = 1;
                for (int k = 0;k < i;k++) {
                    mul = (tmp[k] == '?' ? 2LL : 1LL) * mul % P;
                    ok &= tmp[k] != '#';
                }
                if (ok) (ans += (f ? 1 : -1) * mul) %= P;
            }
        }
    }

    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

L

题解

知识点：KMP。

对于 \(|s| > |t|\) 时，显然答案是 \(0\) ，否则暴力跑一次KMP即可，时间复杂度是 \(|t|\) 的总和。

时间复杂度 \(O(\sum |t|)\)

空间复杂度 \(O(|s| + |t|)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

template<class T>
class KMP {
    int m;
    T p;

public:
    vector<int> nxt;

    KMP() {}
    KMP(const T &_p) { init(_p); }

    void init(const T &_p) {
        m = _p.size() - 1;
        p = _p;
        nxt.assign(m + 1, 0);
        for (int i = 2;i <= m;i++) {
            nxt[i] = nxt[i - 1];
            while (nxt[i] && p[i] != p[nxt[i] + 1]) nxt[i] = nxt[nxt[i]];
            nxt[i] += p[i] == p[nxt[i] + 1];
        }
    }

    vector<int> find(const T &s) {
        int n = s.size() - 1;
        vector<int> pos;
        for (int i = 1, j = 0;i <= n;i++) {
            while (j && s[i] != p[j + 1]) j = nxt[j];
            j += s[i] == p[j + 1];
            if (j == m) {
                pos.push_back(i - j + 1);
                j = nxt[j];
            }
        }
        return pos;
    }

    vector<int> get_cycle_time() {
        vector<int> res;
        int pos = m;
        while (pos) {
            pos = nxt[pos];
            res.push_back(m - pos);
        }
        return res;
    }

    vector<int> get_cycle_loop() {
        vector<int> res;
        for (auto val : get_cycle_time())
            if (!(m % val)) res.push_back(val);
        return res;
    }
    int min_cycle_loop() { return get_cycle_loop()[0]; }

    void debug() {
        for (int i = 1;i <= m;i++)
            cout << nxt[i] << " \n"[i == m];
    }
};
/// KMP，前缀函数O(|P|)、查找O(|S|+|P|)、循环相关O(|P|)，维护字符串前缀函数

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, q, b, p;
    cin >> n >> q >> b >> p;

    vector<int> s(n + 1);
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> s[i];

    ll z = 0;
    int mul = 1, ans = 0;
    while (q--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            ll x, c;
            cin >> x >> c;
            x = (x ^ z) % n + 1;
            c ^= z;
            s[x] = c;
        }
        else {
            int m;
            cin >> m;
            vector<int> t(m + 1);
            for (int i = 1;i <= m;i++) {
                ll val;
                cin >> val;
                t[i] = val ^ z;
            }
            mul = 1LL * mul * b % p;
            if (m < n) z = 0;
            else {
                KMP<vector<int>> kmp(s);
                z = 1LL * kmp.nxt[n] * kmp.find(t).size();
            }
            ans = (ans + z % p * mul % p) % p;
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

M

题解

知识点：数学。

枚举数字个数的范围即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    ll base = 10, cnt = 1;
    ll ans = 0;
    while (base - 1 <= n) {
        ans += (base - base / 10) * cnt;
        base *= 10;
        cnt++;
    }
    base /= 10;
    ans += (n - base + 1) * cnt;
    cout << ans << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}