[atARC098F]Donation

贪心，一定在最后一次经过某节点时付出$b_{u}$，条件是付出后$W\ge \max(a_{i}-b_{i},0)$（同时也可以仅考虑这个限制，因为$W$在过程中不会增大）

假设“最后一次经过”的顺序为$p_{1},p_{2},...,p_{n}$，则要保证存在$p_{i}$到$p_{i+1}$的路径不经过$p_{1},...,p_{i-1}$，也即对于任意一个后缀，其点集的导出子图连通

倒序模拟这个过程（因为有连通的限制），二分枚举$d=W-\sum_{i=1}^{n}b_{i}$，那么可以看作从一个点（$p_{n}$）开始拓展，找到相邻的$x$满足$d\ge a_{x}-b_{x}$，则可以拓展$x$（作为$p_{n-1}$），重复此过程直至拓展整张图

由于拓展只会增加$d$，因此可以贪心拓展，用优先队列维护最小的$a_{x}-b_{x}$去拓展一定最优，此时时间复杂度为$o(n^{2}\log^{2}n)$（因为要枚举$p_{n}$，还有优先队列），无法通过

仍然先枚举$p_{n}$，令$v$为$a_{v}-b_{v}$最大的位置，$G'$为删除$v$后$p_{n}$所在的连通块，从上面的过程来看，在这个贪心下，只有拓展完$G'$后才可能拓展$v$，同时当拓展完$v$后整张图一定都可以拓展

因此，合法条件变为两个：1.$G'$能拓展完；2.$G'$拓展完后$d\ge a_{v}-b_{v}$，前者是一个子问题，可以继续找到最大的$v'$来处理，直至最后$|V|=1$（即为起点）

将这个结构构成一棵树（类似点分树，只是将重心换成$a_{v}-b_{v}$最大的位置），根据上面的条件，即要求找到$a_{x}-b_{x}\le d$的位置，满足$s_{x}+d\ge a_{fa}-b_{fa}$（其中$s_{x}$为$x$子树中$b$的和）直至根

如何建出这棵树，可以从小到大枚举$a_{i}-b_{i}$，然后去合并相邻且比他小的位置作为儿子，再用并查集维护即可

由于后者的条件与起点关系不大，可以看作从根出发，找到合法且$a_{x}-b_{x}$最小的位置，判断与$d$的大小即可，此时时间复杂度为$o(n\log n)$

还可以枚举起点的位置来做到$o(n)$，即先忽略$a_{x}-b_{x}\le d$的限制，求出每一个位置上最小的$d$，记为$f_{k}$，转移为$f_{k}=\max(f_{fa},a_{fa}-b_{fa}-s_{k})$，答案为$\min_{1\le i\le n}\max(f_{i},a_{i}-b_{i})$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 100005
 4 #define ll long long
 5 struct ji{
 6     int nex,to;
 7 }edge[N<<1];
 8 vector<int>v[N];
 9 int E,n,m,x,y,ans,head[N],a[N],id[N],rk[N],fa[N],f[N];
10 ll s[N];
11 bool cmp(int x,int y){
12     return a[x]<a[y];
13 }
14 void add(int x,int y){
15     edge[E].nex=head[x];
16     edge[E].to=y;
17     head[x]=E++;
18 }
19 int find(int k){
20     if (k==fa[k])return k;
21     return fa[k]=find(fa[k]);
22 }
23 void merge(int x,int y){
24     x=find(x),y=find(y);
25     if (x!=y){
26         fa[x]=y;
27         s[y]+=s[x];
28         v[y].push_back(x);
29     }
30 }
31 void dfs(int k){
32     ans=min(ans,max(f[k],a[k]));
33     for(int i=0;i<v[k].size();i++){
34         f[v[k][i]]=f[k];
35         if (a[k]>s[v[k][i]])f[v[k][i]]=max(f[k],(int)(a[k]-s[v[k][i]]));
36         dfs(v[k][i]);
37     }
38 }
39 int main(){
40     scanf("%d%d",&n,&m);
41     memset(head,-1,sizeof(head));
42     for(int i=1;i<=n;i++){
43         scanf("%d%lld",&a[i],&s[i]);
44         a[i]=max(a[i]-s[i],0LL);
45         id[i]=fa[i]=i;
46     }
47     sort(id+1,id+n+1,cmp);
48     for(int i=1;i<=n;i++)rk[id[i]]=i;
49     for(int i=1;i<=m;i++){
50         scanf("%d%d",&x,&y);
51         add(x,y);
52         add(y,x);
53     }
54     for(int i=1;i<=n;i++)
55         for(int j=head[id[i]];j!=-1;j=edge[j].nex)
56             if (rk[edge[j].to]<i)merge(edge[j].to,id[i]);
57     ans=a[id[n]];
58     dfs(id[n]);
59     printf("%lld",ans+s[id[n]]);
60 }