Solution Set -「LOCAL」冲刺省选 Round XXV

\(\mathscr{Summary}\)

  读错题了读错题了 B 题差点没做出来真的太吓人了。

  逆序开题，C 题直接冲一发暴力最大权闭合子图居然过了。A 题确实一下子没想到用“可能的函数集合”描述状态，所以直接摆烂。B 题感觉是个没见过的 trick 啊，但现推还是比较容易，本来把“跳到一个后代”理解成“跳到一个儿子”，冲出树剖调半天发现读错题，我直接 。还好树剖那一大坨都是对的，只是初始的 SG 得重算（怎么还变简单了啊喂）。总之就是这里浪费了很多时间。

  想出正解的题一定缩减代码和调试时间，不要太悠闲 qwq。

\(\mathscr{Solution}\)

\(\mathscr{A}-\) 开心消消乐

  给定任意 \(\varphi:\{0,1\}^3\rightarrow\{0,1\}\) 以及一个字符集为 01? 的串 \(S\)。每次操作为：取出一个 \(S[:2k+1]\)，将 \(S\) 的这个前缀替换为字符 \(\varphi(\dots,\varphi(S_{2k-1},S_{2k},S_{2k+1}))\)。求有多少个将 ? 替换为 0 或 1 的方案，使得存在一种操作方案能将得到的 \(S\) 变为单个字符 1。

  \(n\le10^5\)，多测组数 \(T\le10\)。

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  你先想想怎么判合法。 ——邓老师

  考虑检查一个字符集为 01 的 \(S\) 是否合法。DP 的基本想法必然是以前缀为子问题，而当一个前缀处理完成后，我们只需要关心它留下的东西对后方操作的影响。形式地，令 \(g(i,\phi)\) 表示考虑了前 \(i~(2\mid i)\) 个字符，剩下的前缀对下一个字符的影响是映射 \(\phi\) 的情况是否存在。转移不难。

  会判合法，直接 DP of DP 解决问题：令 \(f(i,\Phi)\) 表示考虑了前 \(i~(2\mid i)\) 个字符，剩下的前缀对下一个字符的影响是映射集合 \(\Phi\) 内任意一种的方案数。在求 \(f\) 之前预处理关于 \(\Phi\) 的转移，可以做到 \(\mathcal O(n)\)（状态数有常数 \(2^{2^2}\)，转移常数最坏是 \(2\times2\)）。

\(\mathscr{B}-\) 树上的棋局

  给定一棵含有 \(n\) 个结点的树，初始时根有 \(r=1\)，每个结点上有一枚棋子。Alice 和 Bob 在玩一个博弈，双方轮流取一个棋子，将其跳到它所在结点的子树内任意一点，不能不动。现进行 \(q\) 次操作：

1. 给定 \(u,v,x\)，在路径 \((u,v)\) 上的每个结点加一枚棋子，然后令 \(r\leftarrow x\)，最后回答当前树下博弈游戏的 SG 值；
2. 给定 \(u,x\)，在 \(u\)（以 \(r\) 为根的）子树内的每个结点加一枚棋子，然后令 \(r\leftarrow x\)，最后回答当前树下博弈游戏的 SG 值。

  \(n,q\le2\times10^5\)。

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  只要你不读错题…… 就算你读错了题……

  首先观察一下修改的形式，发现根的位置几乎不影响修改的进行。例如钦定 \(r=1\)，操作 \(1\) 不受影响；操作 \(2\) 可以由若干个对子树的覆盖异或而成。因此可以把为题描述为：在 \(r=1\) 的背景下做修改，询问 \(r=x\) 时的 SG 值，这样“换根”操作就几乎没有了。

  再考虑如何回答询问。令 \(g(u)\) 表示 \(r=1\)，\(u\) 的 SG；\(f(u)\) 表示 \(r=u\)，\(u\) 的 SG，这俩都能预处理出来。令 \(c_u\) 表示 \(u\) 结点棋子数量奇偶性，可见 \(\bigoplus c_ug(u)\) 就是 \(r=1\) 的答案。对于 \(r=x\)，SG 值有变动的仅有路径 \(x\rightarrow 1\) 上的结点：

• 对于 \(x\)，它的 SG 由 \(g(x)\) 变为 \(f(x)\)；
• 对于其余 \(u\)，它有在路径上的孩子 \(v\)，它的 SG 变为 \(f(u)\) 的 \(\operatorname{mex}\) 集合里剔除 \(g(v)\)（把 \(v\) 子树砍掉）。

  树剖？类似于树上 DDP，我们令 \(h(u)\) 表示砍掉 \(u\) 的重儿子之后，以 \(u\) 为根，\(u\) 的 SG。树剖维护 \(c_u(h(u)\oplus g(u))\) 的值，在 \(\bigoplus c_ug(u)\) 的基础上修正 \(x\rightarrow 1\) 这条链上的答案即可。\(\mathcal O(n\log^2 n)\)，常数踩标

\(\mathscr{C}-\) 社会黄油飞

  （作亿点简化，但应该对于高水平的你来说问题不大。）给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的图，求非空最大权闭合子图（是否大于给定常数）。

  \(n\le2\times10^3\)，\(m\le6\times10^3\)。

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  暴力：钦定选一个点，跑 \(n\) 次最大权闭合子图，\(\mathcal O(n\operatorname{Dinic}(n+2,n+m))\)，过了。

  正解：钦定选一个点，然后退流撤销用于钦定的 \(+\infty\) 边，\(\mathcal O(¿)\)，T 了。

  反 了 它 ¿