http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5542

题意:求严格递增的长度为M的序列的组数。

当dp的优化方案不那么容易一眼看出来的时候,我们可以考虑先写一个朴素算法,在朴素算法的基础上去考虑优化。

正如这题,很显然用dp[i][j]存储长度为i的序列以j结尾的情况。

然后有两种方法去递推。

一种是从1--M序列的长度,对于每一个数字去寻找他前面比她小的数列进行递推,递推方程dp[i][j] += dp[i - 1][k]; (k < j && a[k] < a[j])

第二种方法是从1--N枚举每个数,对于每个数直接寻找他前面的所有满足上面k条件的数字进行递推。

两种方法时间复杂度相同,朴素算法都是T * M * N * N,显然会TLE,但是考虑在其中一层,也就是寻找他前面枚举条件的数这一步进行优化,当我们用树状数组维护前缀的和的时候,我们就可以把一层N优化变为lnN,总的时间复杂度变成O(TNMln(N));

        For(i,,M){
Mem(tree,);
if(i == ) add(,);
For(j,,N){
dp[i & ][j] = getsum(a[j] - ) % mod;
add(a[j],dp[i + & ][j]);
}
}

第一种方法的主要优化代码

    For(i,,N){
For(j,,M){
if(j == ) dp[j & ][i] = ;
else dp[j & ][i] = getsum(j - ,a[i] - ) % mod;
add(j,a[i],dp[j & ][i]);
}
}

第二种方法的主要优化代码

#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
#define For(i, x, y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define _For(i, x, y) for(int i=x;i>=y;i--)
#define Mem(f, x) memset(f,x,sizeof(f))
#define Sca(x) scanf("%d", &x)
#define Sca2(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define Scl(x) scanf("%lld",&x);
#define Pri(x) printf("%d\n", x)
#define Prl(x) printf("%lld\n",x);
#define CLR(u) for(int i=0;i<=N;i++)u[i].clear();
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define mp make_pair
#define PII pair<int,int>
#define PIL pair<int,long long>
#define PLL pair<long long,long long>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
typedef vector<int> VI;
const double eps = 1e-;
const int maxn = ;
const LL INF = 1e18;
const int mod = 1e9 + ;
int N,M,tmp,K;
LL a[maxn];
int cnt;
LL Hash[maxn];
inline LL read()
{
LL now=;register char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar());
for(;isdigit(c);now=now*+c-'',c=getchar());
return now;
}
LL dp[][maxn];
LL tree[maxn];
void add(int x,LL t){
for(;x <= cnt + ; x += x & -x) tree[x] = (tree[x] + t) % mod;
}
LL getsum(int x){
LL s = ;
for(;x > ;x -= x & -x) s = (s + tree[x]) % mod;
return s;
}
int main()
{
int T; Sca(T);
int CASE = ;
while(T--){
Sca2(N,M);
For(i,,N) Hash[i] = a[i] = read();
sort(Hash + ,Hash + + N);
cnt = unique(Hash + ,Hash + + N) - Hash - ;
For(i,,N) a[i] = lower_bound(Hash + ,Hash + + cnt,a[i]) - Hash + ;
Mem(dp,);
For(i,,M){
Mem(tree,);
if(i == ) add(,);
For(j,,N){
dp[i & ][j] = getsum(a[j] - ) % mod;
add(a[j],dp[i + & ][j]);
}
}
LL ans = ;
For(i,,N) ans = (ans + dp[M & ][i]) % mod;
printf("Case #%d: ",CASE++);
Prl(ans);
}
#ifdef VSCode
system("pause");
#endif
return ;
}

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