HDU5470 Typewriter SAM 动态规划 单调队列

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题目传送门 - HDU5470

题意

　　你需要写一个只包含小写字母的字符串 $s$ 。

　　你有两种操作：

　　1.　在当前写好的字符串的末尾加上一个字符 $c$ ，代价是 $cost_c$ ，所有的 $cost_c$ 都会给出。

　　2.　在已经写好的字符串中，选择一段子串 $a$ ，复制，并粘贴一次。代价是 $A\times |a|+B\times 2$ 。其中 $A$ 和 $B$ 会给出。

　　问你写完字符串的最少花费是多少。

　　多组数据，$T\leq 100,|s|\leq 10^5,\sum |s| \leq 1.2\times 10^6,\ \ 1\leq A,B,cost_c\leq 10^9$

题解

　　首先，我们看到这种涉及子串和末尾加上字符的题目，自然想到 SAM ，所以先建一个 SAM 再说。

　　我们令 $dp_i$ 表示写完前 $i$ 个字符的最小花费。则每一个 $dp_i$ 有两种转移方式，一种是直接加字符，一种是复制粘贴。直接加字符的转移很容易，但是复制粘贴的转移方案很多。

　　我们考虑一个 $dp_i$ 通过复制粘贴对后面的 $dp$ 值的贡献。有一个很显然的结论：它所能贡献的区域一定是一个连续段。考虑从第 $i+1$ 个位置开始取串，在由第 $i$ 个前缀构成的 SAM 上面走，得到能匹配的最长串，则比它短的显然都能匹配。我们再分析一下贡献的性质：贡献为 串长 × A + 2 × B 。是一个等差数列，我们显然可以线段树搞一下。

　　现在我们回到之前，考虑如何求那个区间。区间下界显然是 $0$ ，那么问题在求区间上界，以第 $i$ 个字符为左端点，开始与第 $i-1$ 个前缀的子串匹配，我们记最远匹配点为 $R_i$ 。首先我们预处理一下每一个节点的 $right$ 集合中最小的位置，设为 $Time_i$，这样只要走到的节点 $x$ 满足 $Time_x<y$ ，我们就可以在第 $y-1$ 个前缀找到相应的匹配串。再有一个显然的结论，$R_i$ 是单调不降的。因为只需要截掉当前匹配串的第一个字母，就可以转移到下一个位置的匹配，而且是一定匹配的。所以我们可以考虑双指针单调扫一遍，把所有的 $R_i$ 都算出来。

　　既然 $R_i$ 是单调的，而且我们需要区间更新 min 的等差数列数列的公差都是 $A$ ，所以我们可以考虑单调队列优化一下，这样就不需要写线段树了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100005;
int T,n,Case=0;
int R[N],c[26],A,B;
int Time[N<<1],tax[N],id[N<<1];
char s[N];
LL dp[N],v[N],q[N],head,tail;
struct SAM{
	int Next[26],fa,Max;
}t[N<<1];
int size;
void init(){
	memset(t,0,sizeof t);
	memset(Time,63,sizeof Time);
	size=1,t[0].Max=-1;
	for (int i=0;i<26;i++)
		t[0].Next[i]=1;
}
int extend(int p,int c){
	if (t[p].Next[c]&&t[p].Max+1==t[t[p].Next[c]].Max)
		return t[p].Next[c];
	int np=++size,q,nq;
	t[np].Max=t[p].Max+1;
	for (;!t[p].Next[c];p=t[p].fa)
		t[p].Next[c]=np;
	q=t[p].Next[c];
	if (t[p].Max+1==t[q].Max)
		t[np].fa=q;
	else {
		nq=++size;
		t[nq]=t[q],t[nq].Max=t[p].Max+1;
		t[np].fa=t[q].fa=nq;
		for (;t[p].Next[c]==q;p=t[p].fa)
			t[p].Next[c]=nq;
	}
	return np;
}
void Get_Time(){
	memset(tax,0,sizeof tax);
	for (int i=1;i<=size;i++)
		tax[t[i].Max]++;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		tax[i]+=tax[i-1];
	for (int i=1;i<=size;i++)
		id[tax[t[i].Max]--]=i;
	for (int i=size;i>1;i--)
		Time[t[id[i]].fa]=min(Time[t[id[i]].fa],Time[id[i]]);
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%s",s+1);
		n=strlen(s+1);
		init();
		for (int i=1,p=1;i<=n;i++)
			Time[p=extend(p,s[i]-'a')]=i;
		Get_Time();
		for (int i=0;i<26;i++)
			scanf("%d",&c[i]);
		scanf("%d%d",&A,&B);
		for (int i=1,j=0,p=1,len=0;i<=n;i++){
			while (1){
				int Next=t[p].Next[s[j+1]-'a'];
				while (!(Next&&Time[Next]<i)&&j-t[t[p].fa].Max<i)
					p=t[p].fa,len=t[p].Max,Next=t[p].Next[s[j+1]-'a'];
				if (Next&&Time[Next]<i)
					j++,p=Next;
				else
					break;
			}
			R[i]=j;
		}
		head=1,tail=0;
		memset(q,0,sizeof q);
		dp[0]=0;
		for (int i=1;i<=n;i++){
			dp[i]=dp[i-1]+c[s[i]-'a'];
			while (head<=tail&&R[q[head]+1]<i)
				head++;
			if (head<=tail)
				dp[i]=min(dp[i],v[q[head]]+1LL*A*i+B*2);
			v[i]=dp[i]-1LL*A*i;
			if (R[i+1]>i){
				while (head<=tail&&v[i]<=v[q[tail]])
					tail--;
				q[++tail]=i;
			}
		}
		printf("Case #%d: %lld\n",++Case,dp[n]);
	}
	return 0;
}