其他-n个互相独立的连续随机变量中第i小的数值期望

提出问题

有\(n\)个互相独立的\(0\)至\(1\)之间等概率生成的随机变量，求从小到大排序后第\(i\)个数的数值期望

一个简化的问题

我们先来求解一个简化的问题：最大值的数值期望是多少？

我们会发现，由于这些变量都是在\(0\)到\(1\)之间等概率生成的，所以一个变量小于等于\(x\)的概率为\(x\)（即\(P(x_0\leq x)=x\)），则这\(n\)个数中最大值为\(x\)的概率为\(x^{n-1}\)（其他\(n-1\)个变量都小于等于\(x\)）

再考虑到有\(n\)个数都有可能成为最大值，所以最后答案还要再乘\(\binom n1\)（实际上这个组合数应该放在原式的概率函数\(p(x)\)里的，但为了表达方便，我们将这个组合数提到最外面最后进行计算，后面的运算也是如此）

由于期望的计算公式为

\[E(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_kp_k\]

套到这题里就是

\[\int_0^1x\cdot x^{n-1}\cdot dx=\int_0^1x^n\cdot dx=\frac 1{n+1}\]

乘上组合数，得到这个简化问题的答案为\(\frac n{n+1}\)

扩展

我们现在求得了最大值（第\(n\)个数）的数值期望为\(\frac n{n+1}\)，同理可以计算出最小数（第\(1\)个数）的数值期望为\(\frac 1{n+1}\)，大胆猜想第\(i\)个数的数值期望为\(\frac i{n+1}\)

我们下面来证明这个式子

类比上面求最大值的解法，我们可以很容易地列出我们需要的式子

\[\int_0^1x\cdot x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx=\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\]

（第\(i\)个数为\(x\)的概率为前\(i-1\)个数都小于等于\(x\)，后\(n-i\)个数都大于等于\(x\)，则概率为\(x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}\)）

这个式子在最后还要乘一个\(n\cdot \binom {n-1}{i-1}\)（\(n\)个数都有可能成为第\(i\)个数，还要再选出小于等于\(x\)的\(i-1\)个数）

我们列出了式子，但这个式子并不像\(x^n\)这样好积分；为此，我们需要一些数学工具 妙妙工具

分部积分法

分部积分法由乘法法则推导而得

\[(uv)'=uv'+u'v\]

移项

\[uv'=(uv)'-u'v\]

两边同时积分

\[\int uv'\cdot dx=uv-\int u'v\cdot dx\]

积分

明确目标，我们要求

\[\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\]

我们设\(u=(1-x)^{n-i},v=\frac 1{i+1}x^{i+1}\)

则\(u'=-(n-i)(1-x)^{n-i-1},v'=x^i\)

则我们要求的即为

\[\int_0^1uv'\cdot dx=(uv)\big|_0^1-\int_0^1 u'v\cdot dx\]

由于无论\(x\)取\(0\)还是\(1\)，\(uv\)都为\(0\)，则我们只需要考虑后面的式子即可

\[-\int_0^1 u'v\cdot dx\]
\[=-\int_0^1 -(n-i)(1-x)^{n-i-1}\frac 1{i+1}x^{i+1}\cdot dx\]
\[=\frac {n-i}{i+1}\cdot \int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot dx\]

数列

我们发现这个式子和和最初的式子的积分部分很像，可以对比一下：

\[\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\]
\[\int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot dx\]

发现一个指数上升\(1\)，一个下降\(1\)，则我们设\(a_i=\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\)

则我们可以得到一个有趣的递推式\(a_i=\frac {n-i}{i+1}\cdot a_{i+1}\)，而边界条件即为我们一开始证明的式子\(a_n=\frac n{n+1}\)

从而我们可以得到\(a_i\)的通项公式\(a_i=\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\)

所以我们前面那一长溜的积分式，可以化简为\(\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\)！（忽略最后一个中文标点）

最后不要忘记我们之前提取出来的\(n\cdot \binom {n-1}{i-1}\)

最终解得的答案为\(\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\cdot n\cdot \binom {n-1}{i-1}=\frac i{n+1}\)

猜想得证

结论

有\(n\)个互相独立的\(0\)至\(1\)之间等概率生成的随机变量，求从小到大排序后第\(i\)个数的数值期望为\(\frac i{n+1}\)

可以推广，若变量的生成范围为\([l,r]\)，则第\(i\)小数的数值期望为\(l+\frac {i\cdot(r-l)}{n+1}\)

最近加了友链的一位同学貌似知道一个比较简单的做法？不过数学之美不恰好体现在各个方法看似不同，实则连通的吗