[洛谷P1730] 最小密度路径

类型：Floyd

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题意：定义一条路径密度 = 该路径长度 / 边数。给出一张$DAG$，现有$Q$次询问，每次给出$X,Y$，问$X,Y$的最小密度路径（$N \leq 50$）

解题思路

由于$N$非常小，考虑$Floyd$求最短路。但是这题与$Floyd$的不同就在于需要除以边数

可以枚举边的数量。在边的数量$k$确定时，只需要求得恰好经过$k$条边的最短路即可。有没有联想到矩阵乘法……但是这道题是要求先预处理之后询问，因此矩阵乘法的$log \ M$优化就没有意义了，因为不管怎样$M$条边的最短路都要求出来

$f[i][j][k]$表示路径$(i,j)$恰好经过$k$条边的最短路。于是我们易得$$f[i][j][k]=Min\{ f[i][p][k-g]+f[p][j][g] \}$$其中$p$枚举中介点，$g$枚举边数的中介点，$i,j,k$都要扫，于是复杂度$O(n^5)$……

考虑省去一层循环。我们发现刚才的推法会有很多重复的情况，事实上既然已经枚举了中介点$p$，枚举$g$就没有意义了。我们就当$g=1$，因为$g \neq 1$的情况一定会归属于$p$为其他节点时的情况。因此$$f[i][j][k]=Min\{ f[i][p][k-1]+f[p][j][1] \}$$

Code

会有重边，所以邻接矩阵赋值时要打最小值

/*By DennyQi 2018.8.16*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = ;
const int MAXM = ;
const int INF = ;
inline int read(){
    int x = ; int w = ; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '' || c > '')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -, c = getchar();
    while(c >= '' && c <= '') x = (x<<) + (x<<) + c - '', c = getchar();return x * w;
}
int N,M,Q,x,y,z;
int f[][][];
int main(){
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    N=r,M=r;
    for(int i = ; i <= M; ++i){
        x=r,y=r,z=r;
        f[x][y][]=Min(f[x][y][],z);
    }
    for(int g = ; g <= M; ++g)
        for(int k = ; k <= N; ++k)
            for(int i = ; i <= N; ++i)
                for(int j = ; j <= N; ++j)
                    f[i][j][g] = Min(f[i][j][g], f[i][k][g-] + f[k][j][]);
    Q=r;
    while(Q--){
        double cur,ans = 9999999.99; bool flg = ;
        x=r, y=r;
        for(int k = ; k <= M; ++k){
            if(f[x][y][k] != INF) flg = ;
            cur = (double)f[x][y][k] / (double)k;
            ans = Min(ans, cur);
        }
        if(!flg){ printf("OMG!\n"); continue; }
        printf("%.3f\n", ans);
    }
    return ;
}