题意:求全局最小割

不能用网络流求最小割,枚举举汇点要O(n),最短增广路最大流算法求最大流是O(n2m)复杂度,在复杂网络中O(m)=O(n2),算法总复杂度就是O(n5);就算你用其他求最大流的算法,算法总复杂度也要O(n4)。所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n4)。所以就要用Stoer_Wagner算法。算法复杂度为O(n3)。如果加堆优化,复杂度会降为O(n2logn)。

Stoer_Wagner算法: 
Stoer_Wagner算法是求无向图全局最小割的一个有效算法,最坏时间复杂度O(n3),主要思想是先找任意2点的最小割,然后记录下这个最小割,再合并这2个点。这样经过n−1次寻找任意2点最小割,每次更新全局最小割。最后整张图缩成一个点,算法结束,所保存下来的最小割就是全局最小割。

具体步骤

如果G的最小割Cut把G分成M,N两个点集,那么枚举的s和t无非以下两种情况:

①:如果s∈M,t∈N则Min-C(s,t) = Cut(最终的最小割)

②:如果s,t∈M(或s,t∈N)则Min-C (s,t) >= Cut(合并s和t后并不影响最小割,所以就把st合并了得到中间结果图G',继续在图G'上求最小割直到命中条件①)

因为利用到了中间结果G',G'<G,所以降低了复杂度。另外,这个合并的思想有点像Prim最小生成树算法,prim维护的dis数组的含义是集合A外的点到到集合树的最短边权,而Stoer−Wagner维护的w数组是集合A外的点,到集合A所有点的边权之和【割集】。

至于②中提到的合并操作,定义为Contract(s,t) := 删掉点 s, t 及边(s, t),加入新节点 c,对于任意 v ∈ 与s,t联通的点集,做一条新的边w(v, c) = w(c, v) = w(s, v) + w(t, v)

. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权值总和.

. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).

. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=|V|, 则继续2. //最大割

4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.

5. 合并st,即新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边

. 若|V|!=1则继续1.

Stoer−Wagner的正确性: 
设S和T是图G的2个顶点,图G的全局最小割要么是S−T的最小割,此时S和T在G的全局最小割的2个不同的子集中,要么就是G中将S和T合并得的的新图G′的全局最小割,此时S和T在G的全局最小割的同一子集中。

合并后对边权进行调整对全局最小割没有任何影响。所以只需要不断求出当前图中任意2个点的最小割,然后合并这2个点。不断缩小图的规模求得最小割。

       5,6合并成        

 #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm> using namespace std; int e[][]; //边权
int w[]; //各点与A集合中所有点的边权之和, w(A,x)=∑w(id[i],x) id[i]∈A
int id[]; //顶点的重新索引,由于合并顶点的需要
bool vis[]; //顶点是否已访问 int main()
{
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
memset(e,, sizeof(e));
for(int i=;i<n;i++)id[i]=i;//未合并之前,各顶点索引自己
for(int i=;i<m;i++)
{
int u,v,c;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
e[u][v]+=c;
e[v][u]+=c;//无向图
} int ans=0x3f3f3f3f;//全局最小割
while(n>)
{
memset(vis,, sizeof(vis));
memset(w,, sizeof(w));
int s,t=;//最后两个顶点
vis[]=;//默认第一个顶点入集合A
for(int i=;i<n;i++)
{
s=t;
t=-;
for(int j=;j<n;j++)
{
if(!vis[j])
{
w[j]+=e[id[j]][id[s]];
if(t==-||w[j]>w[t])t=j;//找最大的割集
}
}
vis[t]=; //加入集合A
}
ans=min(ans,w[t]);
for(int i=;i<n;i++) // 合并s,t为s点
{
if(i==s||i==t)continue;
e[id[i]][id[s]]+=e[id[i]][id[t]];
e[id[s]][id[i]]+=e[id[i]][id[t]]; //边权w(s, v)=w(s, v)+w(t, v)
}
id[t]=id[--n]; // 赋值顶点n-1从而删除t点, 顶点数量-1
}
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}

参考自:http://www.hankcs.com,yogykwan和QAQqwe

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