欧几里得（Euclid）与拓展的欧几里得算法

欧几里得（Euclid）与拓展的欧几里得算法

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• 欧几里得（Euclid）与拓展的欧几里得算法
  • 欧几里得算法
    • 原理
    • 实现
  • 拓展的欧几里得算法
    • 原理
    • 递归求解
    • 迭代求解

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欧几里得算法

原理

欧几里得算法是一种快速计算最大公约数的算法，对于任意的两个数\((a,b)\)，其最大公约数表示为\(gcd(a,b)\)，根据欧几里得算法，\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)。证明如下：

如果\(b>a\)，显然成立；因此只需考虑\(b<a\)的情况。根据初等数学知识，可知\(a,b\)的关系可表示为\(a=qb+r\)，其中\(q\)为商，\(r\)为余数。

对于\((a,b)\)的最大公约数\(g1=gcd(a,b)\)，当然\(g1|a,g1|b\)（\(g1|a\)表示g1整除a），所以易知对于\(r=a-qb\)，同样满足\(g1|r\)；

又因为\(a\%b=r\)，所以对于\(a,b\)的最大公约数g1，同样满足\(g1|a\%b,g1|b\)，即\((b,a\%b)\)的最大公约数至少为\(g1\)，即\(gcd(b,a\%b)>g1=gcd(a,b)\)。

反过来，对于\((b,a\%b)\)的最大公约数\(g2=gcd(b,a\%b)\)，同样满足\(g2|a, g2|b\)，即\(gcd(a,b)>g2=gcd(b,a\%b)\)。

因此\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)证明成立。下面对该算法进行实现。

实现

#include <iostream>
using namespace std;          

int euclid(int a, int b)
{
    if (b!=0)
    {
        return euclid(b, a%b);
    }
    else
    {
        return a;
    }
}
int main()
{
    int a(0),b(0);
    cin >> a >> b;
    cout << euclid(a,b);
    return 0;
}

拓展的欧几里得算法

原理

拓展的欧几里得算法在密码学中有着重要的应用，现给出定理：

对正整数a，b；总是存在一组整数X,Y，使得\(Xa+Yb=gcd(a,b)\)成立，且\(gcd(a,b)\)为满足这种条件的最小整数。

这里不对该定理进行证明，欧几里得算法给出了在已知a，b的情况下求\(gcd(a,b)\)的方法，但是如果想要求得X，Y的值，就要求助于拓展的欧几里得算法。怎么才能从欧几里得算法的计算过程当中得到我们想要求解的值呢？我们再次详细回顾欧几里得算法的求解过程。

对于已知整数\(a,b\)，我们的算法求解过程如下：

\(a\)	\(b\)	余数\(r\)	商\(q\)
a	b	\(r1=a\%b\)	\(q1=a/b\)
b	r1	\(r2=b\%r1\)	\(q2=b/r1\)
r1	r2	\(r3=r1\%r2\)	\(q3=r1/r2\)
...	...	...	...
\(r_{n-1}\)	\(r_n\)	\(r_{n+1}=r_{n-1}\%r_n\)	\(q_{n+1}=r_{n-1}/r_n\)

逐步计算，直到某一步出现\(r_{n-1}\%r_{n}=0\)的情况，这时候就找到了最大公约数，最大公约数即为\(r_n\)，以上就是欧几里得算法的全过程。通过这个过程当中多产生的一些中间结果我们能不能求得\(X,Y\)的值呢？下面进行两种求解方法的推导。

递归求解

根据上面的表格我知道，\(Xa+Yb=gcd(a,b)\)，并且对于中间所求解的每一步我们所得到的\(r_i\)都满足\(X_i\cdot r_i+Y_i\cdot r_{i+1}=gcd(a,b)\)，因为很明显每一对\(r_i,r_{i+1}\)都满足最大公约数为\(gcd(a,b)\)，这也是欧几里得算法的原理。

我们试着寻找\((X_i,Y_i),(X_{i+1},Y_{i+1})\)之间的递推关系，由以上阐述可知:

\[\begin{cases}
X_i\cdot r_i+Y_i\cdot r_{i+1}=gcd(a,b), &\text{(1)}\\
X_{i+1}\cdot r_{i+1}+Y_{i+1}\cdot r_{i+2}=gcd(a,b),&\text{(2)}
\end{cases}
\]

为了将上式转换成\(r_i\)的方程组，我们使用\(r_{i+1},r_{i+2}来表示r_i\)，通过以上可知\(r_i=r_i/r_{i+1}\cdot r_{i+1}+r_{i+2}\)，将该式带入上式（1），并将两式合并可得：

\[X_i\cdot (r_i/r_{i+1}\cdot r_{i+1}+r_{i+2})+Y_i\cdot r_{i+1}=X_{i+1}\cdot r_{i+1}+Y_{i+1}\cdot r_{i+2}
\]

进一步化简可得：

\[(X_i\cdot r_i/r_{i+1}+Y_i)\cdot r_{i+1}+X_i\cdot r_{i+2}=X_{i+1}\cdot r_{i+1}+Y_{i+1}\cdot r_{i+2}
\]

根据系数相等的原则可得：

\[\begin{cases}
X_i\cdot r_i/r_{i+1}+Y_i=X_{i+1}, &\text{(1)}\\
X_i=Y_{i+1},&\text{(2)}
\end{cases}
\]

以上就得到了\((X_i,Y_i),(X_{i+1},Y_{i+1})\)之间的递推关系，那么我们接下来的工作就是找到一对可以求出其值的\((X_i,Y_i)\)，通过以上可知当出现某一次计算使得\(r_{i}\%r_{i+1}=0\)时，我们可知对于\(X_i\cdot r_i+Y_i\cdot r_{i+1}=gcd(a,b)\)，满足\(gcd(a,b)=r_{i+1}\)，那么很显然\(X_i=0,Y_i=1\)。于是我们就得到了一对\((X_i,Y_i)\)的值，我们已经知道了最后一对\(r_{i},r_{i+1}\)所对应的\((X_i,Y_i)\)才能够推知前面的值，所以我们的推导时从后往前推的，因此我们将上面的递推关系稍微变换一下形式：

\[\begin{cases}
X_i=Y_{i+1},&\text{(1)}\\
Y_i=X_{i+1}-Y_{i+1}\cdot r_i/r_{i+1}, &\text{(2)}
\end{cases}
\]

此时我们就得到了推导关系和初值，通过计算我们就可以求得满足\(Xa+Yb=gcd(a,b)\)的\(X,Y\)值。下面通过代码对其进行实现：

#include <iostream>
using namespace std;                   

void extEuc(int a, int b, int&x, int&y)
{
    int rx,ry;
    int r(0);
    if (a%b==0)
    {
        x=0;y=1;
        return;
    }
    else
    {
        r = a%b;
        extEuc(b, r, rx, ry);
        x = ry;
        y = rx - ry*a/b;
        return;
    }
}                                      

int main()
{
    int a,b;
    int x,y;
    cin >> a >> b;
    extEuc(a, b, x, y);
    cout << x <<' '<< y << endl;
    return 0;
}

输入42 2017可求得输出为-48，1。

迭代求解

较多的递归调用可能会影响计算速度，所以我们接下来推一下迭代的计算方式，已知上面表格中所列欧几里得算法的计算步骤。已知\(gcd(a,b)\)是满足该集合的最小值\(\lbrace Xa+Yb | X,Y\in Z \rbrace\)，已知对于每一步所产生的余数均能被\(gcd(a,b)\)整除，现在考虑每一步迭代所产生的余数满足的等式：

\[\begin{cases}
r_i=X_i\cdot a+Y_i\cdot b \\
r_{i+1}=X_{i+1}\cdot a + Y_{i+1}\cdot b
\end{cases}
\]

且已知\(r_i, r_{i+1}\)满足\(r_{i-1}=r_{i-1}/r_i\cdot r_i+r_{i+1}\)，将上面两式代入到该式，可得：

\[r_{i-1}=(r_{i-1}/r_i\cdot X_i+X_{i+1})\cdot a+(r_{i-1}/r_i\cdot Y_i +Y_{i+1})\cdot b.
\]

值得注意的是此处的\(X_i,Y_i\)与递归方法中的值含义不同。根据上式可推知以下递推关系：

\[\begin{cases}
X_{i+1}=X_{i-1}-r_{i-1}/r_i\cdot X_i \\
Y_{i+1}=Y_{i-1}-r_{i-1}/r_i\cdot Y_i
\end{cases}\]

已知中间的递推关系，关键是考虑如何判断循环的起始值和结束条件，对于\(a,b\)也可看做是余数\(r_i\)，那么对于\(a,b\)来说，其满足的值为：

\[\begin{cases}
a = a\cdot 1 + b\cdot 0\\
b = a\cdot 0 + b\cdot 1
\end{cases}\]

所以就得到了两对\((X,Y)\)的值，分别为\((1,0),(0,1)\)，并且已知\(r_i\)之间的递推关系为\(r_{i+1}=r_{i-1}\%r_i\)。我们也知道循环结束的条件为\(r_i=gcd(a,b)\)，其最后的形式为\(Xa+Yb=gcd(a,b)\)，其直接判断方式为\(r_{i-1}\%r_i=0\)，然后我们就得到了最终的\(X,Y\)值，根据以上递推形式，我们有以下实现：

#include <iostream>
using namespace std;            

int main()
{
    int a,b;
    int x1(1),y1(0),x2(0),y2(1);
    int temp;
    cin >> a >> b;
    while (a%b!=0)
    {
        temp = x2;
        x2 = x1 - a/b*x2;
        x1 = temp;
        temp = y2;
        y2 = y1 - a/b*y2;
        y1 = temp;
        temp = a%b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    cout << x2 <<' '<<y2<<endl;
    return 0;
}

输入42 2017可求得输出为-48，1。

这里有一个用尽可能多的程序语言实现求逆元的网站，大家也可以参考这里的不同实现。

参考文献

[1] Katz J，Lindel Y．Introduction to Modern Cryptography—Principle and Protocol现代密码学——原理与协议【M】任伟．北京：国防工业出版社．2010：10-15．