LG5337/BZOJ5508 「TJOI2019」甲苯先生的字符串 线性动态规划+矩阵加速

问题描述

LG5337

BZOJ5508

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题解

设\(opt_{i,j}(i \in [1,n],j \in [1,26])\)代表区间\([1,i]\)，结尾为\(j\)的写法。

设\(exist_{i,j}(i,j \in [1,26])\)代表\((i,j)\)能否前后相邻，如果为\(1\)，则不能。

则有

\[opt_{i,j}=\sum_{k=1}^{26} opt_{i-1,k}(exist_{k,j}=0)
\]

发现\(n \le 10^{15}\)，就这样递推肯定不行，所以矩阵优化

矩阵\(base\)为\(26 \times 26\)的，\(base_{i,j}=1-exist_{i,j}\)

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\(\mathrm{Code}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

template <typename Tp>
void read(Tp &x){
	x=0;char ch=1;int fh;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
	if(ch=='-'){
		fh=-1;ch=getchar();
	}
	else fh=1;
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=fh;
}

const int mod=1000000007LL;

char s[100007];
int len,n;
int exist[27][27];

int chk(char c){
	return c-'a'+1;
}

struct Mat{
	int a[27][27],n;
	Mat(){
		n=26;memset(a,0,sizeof(a));
	}
}base,ans;

Mat Mul(Mat a,Mat b){
	int q=a.n;
	Mat ret;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		for(int j=1;j<=q;j++){
			for(int k=1;k<=q;k++){
				ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	return ret;
}

Mat ksm(Mat x,int p){
	Mat ret;
	for(int i=1;i<=26;i++) ret.a[i][i]=1;
	while(p){
		if(p&1) ret=Mul(ret,x);p>>=1;
		x=Mul(x,x);
	}
	return ret;
}

int sum;

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>(s+1);
	if(n==1){
		puts("1");return 0;
	}
	len=strlen(s+1);
	for(int i=2;i<=len;i++){
		int xx=chk(s[i]),yy=chk(s[i-1]);
		exist[yy][xx]=1;
	}
	for(int i=1;i<=26;i++){
		ans.a[1][i]=1;
		for(int j=1;j<=26;j++){
			if(!exist[i][j]) base.a[i][j]=1;
		}
	}
	ans=Mul(ans,ksm(base,n-1));
	for(int i=1;i<=26;i++){
		sum=(sum+ans.a[1][i])%mod;
	}
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
}