洛谷P4180 【模板】严格次小生成树[BJWC2010] 题解

虽然中途写的时候有点波折，但是最后一发A，还是有点爽。

这虽然是个模板题，但还是涉及到许多知识的= =

首先我们求出一个最小生成树，并且求出其边权和\(ans\)。那么现在考虑加入其它的边，每次加入在树上就会形成一个环，这时因为是一个生成树，所以我们要删去一条边。很明显现在就要删去最小生成树上最大的边即可。

但这里有个问题，题目要求严格次小。假设现在加入的边权为\(w\)，树上在环中的部分边权最大为\(maxw\)，那么当\(w=maxw\)时，很显然我们要求一个次大边权\(maxw2\)来替换；否则直接把\(maxw\)替换就行了。

初步思路就是这样，接下来就是怎么去“替换”边，并且统计答案。

这里我们可以直接倍增地去做就好了（也有种\(O(n^2)\)的dfs算法，但倍增这么优秀，学它做什么。

设\(g[x][i][0/1]\)分别表示当前在\(x\)号结点，向上跳\(2^i\)个结点，中途经过边权的最大值以及次大值为多少。很显然最大值很容易求，即为

\[max(g[x][i-1][0],g[f[x][i-1]][i-1][0])
\]

求次大值的话就需要分情况讨论了，直接看代码部分吧，应该比较好理解（其实是我懒得打了

if(g[v][j - 1][0] == g[f[v][j - 1]][j - 1][0]) {
    g[v][j][1] = max(g[v][j - 1][1], g[f[v][j - 1]][j - 1][1]) ;
} else if(g[v][j - 1][0] > g[f[v][j - 1]][j - 1][0]) {
    g[v][j][1] = max(g[v][j - 1][1], g[f[v][j - 1]][j - 1][0]) ;
} else g[v][j][1] = max(g[f[v][j - 1]][j - 1][1], g[v][j - 1][0]) ;

那么之后对于每一条边的两个端点，我们就类似于找lca那样倍增地去找次大值就行了。注意这里次大值不能直接取\(g[x][i][1]\)的最大值，也应该像上面那样结合最大值来讨论一下。

详见代码吧，写得有点长（很多复制粘贴

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 3e5 + 5, M = 3e5 + 5;
int n, m;
struct Edge{
    int u, v, w;
    bool operator < (const Edge &A)const{
        return w < A.w;
    }
}E[M];
struct edge{
    int v, w, next;
}e[M];
int head[N], tot;
bool check[M] ;
void adde(int u, int v, int w) {
    e[tot].v = v; e[tot].w = w; e[tot].next = head[u]; head[u] = tot++;
}
int ff[N] ;
int find(int x) {
    return ff[x] == x ? ff[x] : ff[x] = find(ff[x]) ;
}
ll ans ;
int f[N][20], deep[N];
ll g[N][20][2] ;
int Log2[N] ;
void dfs(int u, int fa) {
    deep[u] = deep[fa] + 1;
    for(int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {
        int v = e[i].v, w = e[i].w;
        if(v == fa) continue ;
        f[v][0] = u;
        g[v][0][0] = w;
        g[v][0][1] = -1e9;
        for(int j = 1; j <= 17; j++) f[v][j] = f[f[v][j - 1]][j - 1] ;
        for(int j = 1; j <= 17; j++) {
            g[v][j][0] = max(g[v][j - 1][0], g[f[v][j - 1]][j - 1][0]) ;
            if(g[v][j - 1][0] == g[f[v][j - 1]][j - 1][0]) {
                g[v][j][1] = max(g[v][j - 1][1], g[f[v][j - 1]][j - 1][1]) ;
            } else if(g[v][j - 1][0] > g[f[v][j - 1]][j - 1][0]) {
                g[v][j][1] = max(g[v][j - 1][1], g[f[v][j - 1]][j - 1][0]) ;
            } else g[v][j][1] = max(g[f[v][j - 1]][j - 1][1], g[v][j - 1][0]) ;
        }
        dfs(v, u) ;
    }
}
ll LCA(int x, int y) {
    if(deep[x] < deep[y]) swap(x, y) ;
    for(int i = 17; i >= 0; i--) {
        if(deep[f[x][i]] >= deep[y]) x = f[x][i] ;
    }
    if(x == y) return x;
    for(int i = 17; i >= 0; i--) {
        if(f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i] ;
    }
    return f[x][0] ;
}
ll getmx(int x, int y, int k) {
    ll ans1 = 0, ans2 = 0, ans = 0;
    int z = LCA(x, y) ;
    int tx = x, ty = y;
    for(int i = 17; i >= 0; i--)
        if(deep[f[x][i]] >= deep[z]) ans1 = max(ans1, g[x][i][0]), x = f[x][i] ;
    for(int i = 17; i >= 0; i--)
        if(deep[f[y][i]] >= deep[z]) ans2 = max(ans2, g[y][i][0]), y = f[y][i] ;
    if(!k) return max(ans1, ans2) ;
    if(ans1 > ans2) {
        x = tx;
        for(int i = 17; i >= 0; i--)
            if(deep[f[x][i]] >= deep[z]) ans = max(ans, g[x][i][1]), x = f[x][i] ;
        ans = max(ans, ans2) ;
    } else if(ans1 == ans2) {
        x = tx, y = ty;
        ans1 = 0, ans2 = 0;
        for(int i = 17; i >= 0; i--)
            if(deep[f[x][i]] >= deep[z]) ans1 = max(ans1, g[x][i][0]), x = f[x][i] ;
        for(int i = 17; i >= 0; i--)
            if(deep[f[y][i]] >= deep[z]) ans2 = max(ans2, g[y][i][0]), y = f[y][i] ;
        ans = max(ans1, ans2) ;
    } else {
        y = ty;
        for(int i = 17; i >= 0; i--)
            if(deep[f[y][i]] >= deep[z]) ans2 = max(ans2, g[y][i][0]), y = f[y][i] ;
        ans = max(ans, ans1) ;
    }
    return ans ;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0) ;
    cin >> n >> m;
    Log2[1] = 0;
    for(int i = 2; i < N; i++) Log2[i] = Log2[i >> 1] + 1;
    memset(head, -1, sizeof(head)) ;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        E[i] = Edge{u, v, w} ;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) ff[i] = i;
    sort(E + 1, E + m + 1) ;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int u = E[i].u, v = E[i].v, w = E[i].w;
        int fx = find(u), fy = find(v) ;
        if(fx != fy) {
            check[i] = 1;
            ans += w;
            ff[fx] = fy;
            adde(u, v, w); adde(v, u, w);
        }
    }
    dfs(1, 0) ;
    ll mn = 1e18;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        if(check[i]) continue ;
        int u = E[i].u, v = E[i].v, w = E[i].w;
        int mx = getmx(u, v, 0) ;
        if(mx == w) {
            mx = getmx(u, v, 1) ;
            mn = min(mn, ans - mx + (ll)w) ;
        } else mn = min(mn, ans - mx + (ll)w) ;
    }
    cout << mn ;
    return 0;
}