KD-Tree总结

KD-Tree总结

问题引入

平面上有\(n\)个点，\(q\)组询问，每一次查询距离\((x,y)\)最近的点对，强制在线。

问题解决

暴力

显然我们可以直接枚举点然后算距离取\(min\)，这样子复杂度是\(\Theta(nq)\)的。

KD-Tree

而\(KD-Tree\)就是一个解决这种问题的利器

我们不妨从这个平面中选出一些点把平面分割成两个部分，那么所有的点就会在一段范围内对吧。我们只需要暴力的找每一段里面的即可。

但是这样子复杂度还是不对，还是\(\Theta(nq)\)的，此时我们需要把每一块区域的范围给算出来，判断边界到这个点的距离是不是比\(ans\)小，即搜索的过程中进行乐观估价剪枝。

当然还可以加一些搜索顺序的优化，具体实现参见代码。

至此，\(KD-Tree\)的大致流程就讲完了，虽然我觉得我自己都看着一脸懵逼，但是结合代码你可能可以获得更好的阅读体验。

更进一步

如果这个时候可以插入点或者删除点呢？

插入

直接暴力插进去然后按照替罪羊树那套理论重构即可。

删除

打个惰性删除标记然后替罪羊树那套理论重构即可。

例题

P2479 [SDOI2010]捉迷藏

直接查即可，注意不能和当前点重复。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define re register
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
inline int gi(){
	int f=1,sum=0;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}
const int N=500010,Inf=1e9+10;
int rt,n,tot,now,ans1,ans2;
struct node{int x[2];bool operator!=(const node &a)const{return (x[0]!=a.x[0]) || (x[1]!=a.x[1]);}}a[N];
struct tree{int ls,rs,mn[2],mx[2];node w;}t[N];
int newnode(){return ++tot;}
bool cmp(node a,node b){return a.x[now]<b.x[now];}
void update(int o){
	for(int i=0;i<2;i++){
		t[o].mx[i]=t[o].mn[i]=t[o].w.x[i];
		if(t[o].ls)t[o].mx[i]=max(t[o].mx[i],t[t[o].ls].mx[i]),t[o].mn[i]=min(t[o].mn[i],t[t[o].ls].mn[i]);
		if(t[o].rs)t[o].mx[i]=max(t[o].mx[i],t[t[o].rs].mx[i]),t[o].mn[i]=min(t[o].mn[i],t[t[o].rs].mn[i]);
	}
}
int build(int l,int r,int opt){
	if(l>r)return 0;
	int mid=(l+r)>>1,o=newnode();now=opt;
	nth_element(a+l,a+mid,a+r+1,cmp);t[o].w=a[mid];
	t[o].ls=build(l,mid-1,opt^1);t[o].rs=build(mid+1,r,opt^1);
	update(o);return o;
}
int getmin(int o,node now){
	int ret=0;
	for(int i=0;i<2;i++)ret+=max(0,now.x[i]-t[o].mx[i])+max(0,t[o].mn[i]-now.x[i]);
	return ret;
}
int getmax(int o,node now){
	int ret=0;
	for(int i=0;i<2;i++)ret+=max(abs(now.x[i]-t[o].mx[i]),abs(now.x[i]-t[o].mn[i]));
	return ret;
}
int dis(node a,node b){return abs(a.x[0]-b.x[0])+abs(a.x[1]-b.x[1]);}
void query_max(int o,node now){
	if(t[o].w!=now)ans1=max(ans1,dis(t[o].w,now));
	int le=-Inf,ri=-Inf;
	if(t[o].ls)le=getmax(t[o].ls,now);
	if(t[o].rs)ri=getmax(t[o].rs,now);
	if(le>ri){
		if(le>ans1)query_max(t[o].ls,now);
		if(ri>ans1)query_max(t[o].rs,now);
	}
	else{
		if(ri>ans1)query_max(t[o].rs,now);
		if(le>ans1)query_max(t[o].ls,now);
	}
}
void query_min(int o,node now){
	if(t[o].w!=now)ans2=min(ans2,dis(t[o].w,now));
	int le=Inf,ri=Inf;
	if(t[o].ls)le=getmin(t[o].ls,now);
	if(t[o].rs)ri=getmin(t[o].rs,now);
	if(le<ri){
		if(le<ans2)query_min(t[o].ls,now);
		if(ri<ans2)query_min(t[o].rs,now);
	}
	else{
		if(ri<ans2)query_min(t[o].rs,now);
		if(le<ans2)query_min(t[o].ls,now);
	}
}
int main(){
	n=gi();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i].x[0]=gi(),a[i].x[1]=gi();
	rt=build(1,n,0);int ans=Inf;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans1=-Inf,ans2=Inf;
		query_max(rt,a[i]);query_min(rt,a[i]);
		ans=min(ans,ans1-ans2);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

例题2

P4169 [Violet]天使玩偶/SJY摆棋子

插入的模板题，按照上文所述的方法做即可。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define re register
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
inline int gi(){
	int f=1,sum=0;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}
const int N=2000010,Inf=1e9+10;
const double alpha=0.75;
struct node{int x[2];}a[N];
struct tree{int mx[2],mn[2],siz,ls,rs;node w;}t[N];
int n,m,rt,tot,now,ans;
int sta[N],top;
int newnode(){if(top)return sta[top--];else return ++tot;}
bool cmp(node a,node b){return a.x[now]<b.x[now];}
void update(int o){
	for(int i=0;i<2;i++){
		t[o].mx[i]=t[o].mn[i]=t[o].w.x[i];
		if(t[o].ls)t[o].mx[i]=max(t[o].mx[i],t[t[o].ls].mx[i]),t[o].mn[i]=min(t[o].mn[i],t[t[o].ls].mn[i]);
		if(t[o].rs)t[o].mx[i]=max(t[o].mx[i],t[t[o].rs].mx[i]),t[o].mn[i]=min(t[o].mn[i],t[t[o].rs].mn[i]);
	}
	t[o].siz=t[t[o].ls].siz+t[t[o].rs].siz+1;
}
int build(int l,int r,int opt){
	if(l>r)return 0;
	int mid=(l+r)>>1,o=newnode();now=opt;
	nth_element(a+l,a+mid,a+r+1,cmp);t[o].w=a[mid];
	t[o].ls=build(l,mid-1,opt^1);t[o].rs=build(mid+1,r,opt^1);
	update(o);return o;
}
void get(int o,int cnt){
	if(t[o].ls)get(t[o].ls,cnt);
	a[cnt+t[t[o].ls].siz+1]=t[o].w;sta[++top]=o;
	if(t[o].rs)get(t[o].rs,cnt+t[t[o].ls].siz+1);
}
void check(int &o,int opt){
	if(t[o].siz*alpha<t[t[o].ls].siz || t[o].siz*alpha<t[t[o].rs].siz)
		get(o,0),o=build(1,t[o].siz,opt);
}
void insert(int &o,node now,int opt){
	if(!o){o=newnode();t[o].w=now;t[o].ls=t[o].rs=0;update(o);return;}
	if(now.x[opt]<=t[o].w.x[opt])insert(t[o].ls,now,opt^1);
	else insert(t[o].rs,now,opt^1);
	update(o);check(o,opt);
}
int getdis(node now,int o){
	int ret=0;
	for(int i=0;i<2;i++)ret+=max(now.x[i]-t[o].mx[i],0)+max(t[o].mn[i]-now.x[i],0);
	return ret;
}
int dis(node a,node b){return abs(a.x[0]-b.x[0])+abs(a.x[1]-b.x[1]);}
void query(int o,node now){
	ans=min(ans,dis(t[o].w,now));
	int le=Inf,ri=Inf;
	if(t[o].ls)le=getdis(now,t[o].ls);
	if(t[o].rs)ri=getdis(now,t[o].rs);
	if(le<ri){
		if(le<ans)query(t[o].ls,now);
		if(ri<ans)query(t[o].rs,now);
	}
	else{
		if(ri<ans)query(t[o].rs,now);
		if(le<ans)query(t[o].ls,now);
	}
}
int main(){
	n=gi();m=gi();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i].x[0]=gi(),a[i].x[1]=gi();
	rt=build(1,n,0);
	while(m--){
		int opt=gi();node now;now.x[0]=gi();now.x[1]=gi();
		if(opt==1)insert(rt,now,0);
		else{ans=Inf;query(rt,now);printf("%d\n",ans);}
	}
	return 0;
}

参考文献

儿子的Blog

感谢儿子对我的滋磁！