【BZOJ4559】成绩比较（组合计数，容斥原理）

题意：

G系共有n位同学，M门必修课。这N位同学的编号为0到N-1的整数，其中B神的编号为0号。这M门必修课编号为0到M-

1的整数。一位同学在必修课上可以获得的分数是1到Ui中的一个整数。如果在每门课上A获得的成绩均小于等于B获

得的成绩，则称A被B碾压。在B神的说法中，G系共有K位同学被他碾压（不包括他自己），而其他N-K-1位同学则没

有被他碾压。D神查到了B神每门必修课的排名。这里的排名是指：如果B神某门课的排名为R，则表示有且仅有R-1

位同学这门课的分数大于B神的分数，有且仅有N-R位同学这门课的分数小于等于B神（不包括他自己）。我们需要

求出全系所有同学每门必修课得分的情况数，使其既能满足B神的说法，也能符合D神查到的排名。这里两种情况不

同当且仅当有任意一位同学在任意一门课上获得的分数不同。你不需要像D神那么厉害，你只需要计算出情况数模1

0^9+7的余数就可以了。

N<=100,M<=100,Ui<=10^9

 

思路：WYZ作业

事实上约大爷day1前就已秒掉此题，果然连ZJ女队队长也比不了……

只能%一发题解，这就是数学题弱者的无奈……

From http://blog.csdn.net/aarongzk/article/details/51760818

整体思路：先求出所有其他人和B神每门课分数相对大小的不同方案数，然后再计算每门课的方案数，两者乘积即为答案。

① 先算第一部分，直接算比较难，考虑容斥原理。

f[i]表示有i个人被碾压的方案数，则f[i]=C(n-1,i)*C(n-1-i,rnk[1]-1)*C(n-1-i,rnk[2]-1)*…*C(n-1-i,rnk[m]-1)-f[i+1]*C(i+1,i)-f[i+2]*C(i+2,i)-…-f[n-1]*C(n-1,i)，即用至少i个人被碾压的方案数减去不合法的。f数组逆向递推即可求出。

② 再算第二部分，对于每一门分别计算，然后乘起来。

假设某一门课的总分为s，B神的名次和分数分别为rnk和x，则方案数为x^(n-rnk)*(s-x)^(rnk-1)。

展开化简得∑ C(rnk-1,i)*s^(rnk-1-i)*x^(n-rnk+i)，0≤i≤rnk-1。

我们要对x=1,2,…,s的所有情况求和。

把x次数相同的项放在一起，转化成求1^p+2^p+...+s^p，p为常数。

设g[i]=1^i+2^i+...+s^i，然后观察规律：

(s+1)^(p+1)-s^(p+1)=C(p+1,0)*s^0+C(p+1,1)*s^1+…+C(p+1,p)*s^p

s^(p+1)-(s-1)^(p+1)=C(p+1,0)*(s-1)^0+C(p+1,1)*(s-1)^1+…+C(p+1,p)*(s-1)^p

……

2^(p+1)-1^(p+1)=C(p+1,0)*1^0+C(p+1,1)*1^1+…+C(p+1,p)*1^p

将式子相加，得：(s+1)^(p+1)-1=C(p+1,0)*g[0]+C(p+1,1)*g[1]+…+C(p+1,p)*g[p]

移项，得：g[p]=((s+1)^(p+1)-1-C(p+1,0)*g[0]-C(p+1,1)*g[1]-…-C(p+1,p-1)*g[p-1]) / C(p+1,p)

于是可以通过正向递推求出g数组。

这样，这个问题就完美解决了，时间复杂度O(n^3)。

 const mo=;
 var exf,fac:array[..]of int64;
     a,b:array[..]of longint;
     g,f:array[..]of int64;
     n,m,k1,i,j,k,v:longint;
     ans,tmp:int64;

 function c(n,m:longint):int64;
 begin
  if n<m then exit();
  exit(fac[n]*exf[m] mod mo*exf[n-m] mod mo);
 end;

 function mult(x,y:longint):int64;
 var tmp:int64;
 begin
  if x= then exit();
  mult:=; tmp:=x;
  while y> do
  begin
   if y and = then mult:=mult*tmp mod mo;
   tmp:=tmp*tmp mod mo;
   y:=y>>;
  end;
 end;

 begin
  assign(input,'bzoj4559.in'); reset(input);
  assign(output,'bzoj4559.out'); rewrite(output);
  readln(n,m,k1);
  for i:= to m do read(a[i]);
  for i:= to m do read(b[i]);
  exf[]:=; exf[]:=; fac[]:=;
  for i:= to  do exf[i]:=exf[mo mod i]*(mo-mo div i) mod mo;
  for i:= to  do exf[i]:=exf[i-]*exf[i] mod mo;
  for i:= to  do fac[i]:=fac[i-]*i mod mo;
  for i:=n- downto k1 do
  begin
   f[i]:=c(n-,i);
   for j:= to m do f[i]:=f[i]*c(n-i-,b[j]-) mod mo;
   for j:=i+ to n- do f[i]:=(f[i]-f[j]*c(j,i) mod mo+mo) mod mo;
  end;

  ans:=;
  for i:= to m do
  begin
   g[]:=a[i];
   for j:= to n do
   begin
    g[j]:=(mult(a[i]+,j+)-+mo) mod mo;
    for k:= to j- do g[j]:=(g[j]-c(j+,k)*g[k] mod mo+mo) mod mo;
    g[j]:=g[j]*mult(j+,mo-) mod mo;
   end;
   tmp:=; v:=;
   for j:= to b[i]- do
   begin
    tmp:=(tmp+c(b[i]-,j)*mult(a[i],b[i]--j) mod mo*g[n-b[i]+j]*v mod mo+mo) mod mo;
    v:=-v;
   end;
   ans:=ans*tmp mod mo;
  end;
  //for i:= to n do writeln(g[i]);
  writeln(ans*f[k1] mod mo);

  close(input);
  close(output);
 end.