Differentiation 导数和变化率

何为导数

1 : 如何求一条直线上一点的切线？

what did we learn in high school about what a tangent(切) line is ? ：任意一点上的切线都可以有一个方程 y-y₀ = k*(x-x₀)来表示。

切线：一种极限是当Q趋近于P。->在一条弧线上由P，Q两点如何确定直线PQ，是切线呢？根据定理可得，当一条直线和一条弧线相交于两点的时候这条直线一定不是切线。所以只有当P和Q重合的时候着一条直线才是切线 X_P-X_Q=Δx , 只有当Δx -> 0 的时候直线PQ才是切线。

当求一条直线的斜率的时候我们就可以用y-y₀ = k*(x-x₀)来求解。Δx/Δy=k。p点可以用（x，y）来表示同样也可以用（x、f（x））来表示。所以将P、Q都用着一种形式来表示的话我们就可以得到P（x₀，f（x₀）），Q（x₀+Δx，f（x₀+Δx））。

　　　　这样的话就应该很熟悉了吧。下面我们求y=1/x的导数。由上述可得k=(y-y₀)/(x-x₀)==-1/(x₀+Δx)*x₀　其又名为差商　　

问题2：由1/x的切线和x，y轴围成三角形的面积。

同样我们需要在y=1/x上面找出来一点能过普遍表示的点。我们假设这一点为P(X0,Y0).我们已经知道P点的斜率为-1/x0^。同时这条切线也过P点P点的坐标为P(X0,Y0)。所以我们可以通过点斜式y-y0=k*(x-x0) ，求得切线。然后我们只需要求得x轴截距和y轴截距就可以了。我们知道x轴上y=0同理y轴可得x=0。所以我们可以求得截距。此题可解。x=2x₀，y=2/x₀=2×y₀。

下面介绍一些记号一些用于表示导数的记号。。

问题3：求其导数。Δf / Δx = [(x+Δx)^x-xⁿ] / Δx .

　　引入：

　　　　二项式定理： junk（垃圾）. 为什么说 那些都是junk呢？ 我们联系上面的Δf / Δx = [(x+Δx)^x-xⁿ] / Δx . 可以看出  xⁿ -xⁿ 消掉了，然后 除了 n*x^n-1*Δx只有一个Δx之外其余的都是Δx的平方或平方之上的，因为Δx非常的小，所以可以将剩下的消除掉。所以可以得到 f（x）= xⁿ的导数 f（x）^“ = n*x^n-1 .

在大部分的问题中我们都会用到微积分，但是微积分在其中只占了很小的一部分，所以经常会给我们造成一中微积分特别难的感觉。实际上微积分很简单，只是因为其他的知识我们不具备所以才会感觉微积分特别难。