洛谷P4199 万径人踪灭（manacher+FFT）

传送门

题目所求为所有的不连续回文子序列个数，可以转化为回文子序列数-回文子串数

回文子串manacher跑一跑就行了，考虑怎么求回文子序列数

我们考虑，如果$S_i$是回文子序列的对称中心，那么只要$S_{i-j}$和$S_{i+j}$相等，我们就多了一种选择

设共有$x$组相等的，那么以$S_i$为对称中心的回文子序列个数就是$2^{x+1}-1$，表示这$x$组包括对称中心选或不选，除去全都不选的都能算入答案

然而对称中心不一定在字符上可能在两个字符中间，那么这种时候回文子序列数就是$2^x-1$（因为没有中间的字符所以无所谓选不选）

然后考虑如何计算每一个位置上的$x$

我们考虑构造多项式$A$，原串上为$a$的位置设为$1$，$b$的位置设为$0$，如果$s[i]==s[j]$，那么他们的贡献会加到$(i+j)/2$上

然后发现这玩意儿和卷积很像，于是我们把除以二去掉，那么每一对$s[i]==s[j]$都会把贡献加到$i+j$上，所以只要把$A$自乘一下就可以了

然后构造$B$，原串上为$b$的位置设为$0$，也自乘一下就行了

然后把$A$和$B$对应系数加起来，再减去((i&1)^1)（表示这一位对称中心是否在字符上），再求一下$2$的多少次幂减一，最后减掉回文串个数就行了

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #define ll long long
 #define add(x,y) (x+y>=P?x+y-P:x+y)
 using namespace std;
 const int N=5e5+,P=1e9+;const double Pi=acos(-1.0);
 struct complex{
     double x,y;
     complex(double xx=,double yy=){x=xx,y=yy;}
     inline complex operator +(complex b){return complex(x+b.x,y+b.y);}
     inline complex operator -(complex b){return complex(x-b.x,y-b.y);}
     inline complex operator *(complex b){return complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}
 }A[N],B[N];
 int n,m,l,r[N],limit=;
 void FFT(complex *A,int type){
     for(int i=;i<limit;++i)
     if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
     for(int mid=;mid<limit;mid<<=){
         complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
         for(int R=mid<<,j=;j<limit;j+=R){
             complex w(,);
             for(int k=;k<mid;++k,w=w*Wn){
                 complex x=A[j+k],y=w*A[j+k+mid];
                 A[j+k]=x+y,A[j+k+mid]=x-y;
             }
         }
     }
 }
 ll s[N],ans[N],x[N],p[N],sum;char ss[N];
 void manacher(){
     int mx=,id;
     for(int i=,l=(n<<)+;i<=l;++i){
         p[i]=i<mx?min(p[*id-i],(ll)mx-i):1ll;
         while(x[i-p[i]]==x[i+p[i]]) ++p[i];
         if(mx<i+p[i]) mx=i+p[i],id=i;
     }
 }
 ll ksm(ll a,ll b){
     ll res=;
     while(b){
         if(b&) res=res*a%P;
         a=a*a%P,b>>=;
     }
     return res;
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     scanf("%s",ss+);n=strlen(ss+);
     for(int i=;i<=n;++i) s[i]=ss[i]=='a';
     for(int i=;i<=n;++i)
     x[(i<<)-]=,x[i<<]=s[i];
     x[]=-,x[(n+)<<]=-,x[(n<<)+]=;
     while(limit<=(n<<)+) limit<<=,++l;
     for(int i=;i<limit;++i)
     r[i]=(r[i>>]>>)|((i&)<<(l-));
     for(int i=;i<=n;++i) A[i].x=B[i].x=s[i];
     FFT(A,),FFT(B,);
     for(int i=;i<limit;++i) A[i]=A[i]*B[i];
     FFT(A,-);
     for(int i=,l=(n<<)+;i<=l;++i) ans[i]+=((ll)(A[i].x/limit+0.5)-((i&)^));
     memset(A,,sizeof(A)),memset(B,,sizeof(B));
     for(int i=;i<=n;++i) A[i].x=B[i].x=(s[i]^);
     FFT(A,),FFT(B,);
     for(int i=;i<limit;++i) A[i]=A[i]*B[i];
     FFT(A,-);
     for(int i=,l=(n<<)+;i<=l;++i) ans[i]+=((ll)(A[i].x/limit+0.5)-((i&)^));
     for(int i=,l=(n<<)+;i<=l;++i) ans[i]=((ans[i]+((i&)^))>>)+((i&)^);
     for(int i=,l=(n<<)+;i<=l;++i) ans[i]=ksm(,ans[i])-;
     manacher();
     for(int i=,l=(n<<)+;i<=l;++i) ans[i]-=(p[i]>>);
     for(int i=,l=(n<<)+;i<=l;++i) sum=add(sum,ans[i]);
     printf("%lld\n",sum);
     return ;
 }