BZOJ 2693 jzptab ——莫比乌斯反演

同BZOJ 2154 但是需要优化

$ans=\sum_{d<=n}d*\sum_{i<=\lfloor n/d \rfloor} i^2 *\mu(i)* Sum(\lfloor \frac {n}{i*d} \rfloor,\lfloor \frac {m}{i*d} \rfloor)$

如果我们设$T=i*d$

$ans=\sum_{T<=n} Sum(\lfloor \frac {n}{T}\rfloor,\lfloor \frac {m}{T}\rfloor)\sum_{i \mid T} T*i*\mu(i)$

如果我们能计算出 $\sum_{i \mid T} T*i*\mu(i)$的前缀和 我们就可以在\Theta (n)的时间内解决这个问题

它是积性函数，当$pr[j] \nmid i$的时候，新加入的$pr[j]$对$\mu$没有贡献（均为0）只有$T$的部分发生了改变所以乘一个$pr[j]$就可以了

然后就可以$\Theta (T\sqrt n)$解决了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define F(i,j,k) for (int i=j;i<=k;++i)
#define D(i,j,k) for (int i=j;i>=k;--i)
#define ll long long
#define md 100000009
#define maxn 10000005

int n,m,t,h[maxn],pr[maxn],top=0;
bool vis[maxn];

void init()
{
    memset(vis,false,sizeof vis);
    h[1]=1;
    F(i,2,maxn-1)
    {
        if (!vis[i])
        {
            pr[++top]=i;
            h[i]=((i-(ll)i*i)%md+md)%md;
        }
        F(j,1,top)
        {
            if ((ll)i*pr[j]>=maxn) break;
            vis[i*pr[j]]=true;
            if (i%pr[j]==0)
            {
                h[i*pr[j]]=((ll)h[i]*pr[j])%md;
                break;
            }
            h[i*pr[j]]=((ll)h[i]*h[pr[j]])%md;
        }
    }
    F(i,2,maxn-1)
        h[i]=((ll)h[i-1]+h[i])%md;
}

ll Sum(int n,int m)
{
    n%=md; m%=md;
    n=((ll)n*(n+1)/2)%md;
    m=((ll)m*(m+1)/2)%md;
    return ((ll)n*m)%md;
}

void solve(int n,int m)
{
    if (n>m) swap(n,m);
    ll ret=0;
    for (int i=1,last=0;i<=n;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ret=(ret+((ll)h[last]-h[i-1])*Sum(n/i,m/i))%md;
    }
    ret+=md; ret%=md;
    printf("%lld\n",ret);
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        solve(n,m);
    }
}